第9章 弯曲变形

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1、9.1 9.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 PAB 9.2 9.2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程一、弯曲变形的量度一、弯曲变形的量度yx1. 挠曲线：变形后梁的轴线。挠曲线：变形后梁的轴线。2. 挠度挠度：横截面形心沿垂直于：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。向轴线方向的位移。向上上为正。为正。x 挠曲线方程：挠曲线方程： xf 3. 转角转角：横截面绕中性轴转过的角度，即：横截面绕中性轴转过的角度，即 y 轴与挠曲线法线的夹角，轴与挠曲线法线的夹角，或或 x 轴与挠曲线切线的夹角。轴与挠曲线切线的夹角。逆时针逆时针方向为正。方向为正。 xddtan 小变形：小变形：

2、 tan xfx dd 挠曲线挠曲线EIxMEIxMz)()(1 二、挠曲线近似微分方程二、挠曲线近似微分方程xdsdxyO d d d d ssdd1 EIM EIMs dd sxxxsxxxsxxsdddd1dd ddddarctandddddddd222 xxsddd1d212 23222dd1dddd xxs EIM 小变形：小变形： xfx ddtan EIMx 22dd 挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程： 9.3 9.3 积分法求梁的变形积分法求梁的变形EIMx 22dd 挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程：CxEIMx ddd 转角方程转角方程DCxxxEIM dd 挠

3、度方程挠度方程C、D 积分常数；由积分常数；由边界条件边界条件和和连续性条件连续性条件确定。确定。边界条件边界条件 固定端：固定端：0；0；铰支座：铰支座：0；弯曲变形的对称点：弯曲变形的对称点：0。连续性条件连续性条件 挠曲线为一条连续光滑的曲线，即在挠曲线的挠曲线为一条连续光滑的曲线，即在挠曲线的任意点上，有任意点上，有唯一唯一确定的挠度和转角。确定的挠度和转角。RBRAlABq例例11-3-1：用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大：用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设的转角和最大的挠度。设EI为常量。为常量。解解：(1) 求支座反力，求支座反力，

4、写弯矩方程写弯矩方程 2qlRRBA(2) 建立挠曲线近似微分方程，并积分建立挠曲线近似微分方程，并积分DxxqxqlEI C24- 1243 (3) 利用利用边界条件边界条件确定积分常数确定积分常数0 :0 x0 D0 : lx24 3qlC xy lxxqxqlxM 0 22)(2 lxxqxqlEI 0 222 C6432 xqxqlEI x 3234624xlxlEIq 323224xlxlEIqx EIqllxx24 : 03BAmax 或或EIqllxl3845 0; :242max (5) 求最大值求最大值 说明：说明：(4) 求转角方程、挠度方程求转角方程、挠度方程lABqxy

5、弯曲变形的对称点：弯曲变形的对称点：0。M22ql边界条件：边界条件：0 :0 x0 :2 lx0 : lx0 :2 lx或或 111311121111 62DaxCaxPEICaxPEIaxPEI a例例11-3-2：用积分法求：用积分法求C截面的转角和挠度，设截面的转角和挠度，设EI为常量。为常量。lABPC解解：(1) 求支座反力，分段求支座反力，分段写弯矩方程写弯矩方程 lPaRllaPRBA(2) 分段建立挠曲线近似微分方程，并积分分段建立挠曲线近似微分方程，并积分 0 CA111 xaaxPM段段：RARB lxlxlPaM 2220 AB段段：Paxy 222322222222

6、62DlxClxlPaEIClxlPaEIlxlPaEI 2223222222 62DlxClxlPaEIClxlPaEI 1113111211 62DaxCaxPEICaxPEI (3) 确定积分常数确定积分常数0 :021 xABPCxy21 :0 x0 :2 lx边界条件边界条件连续性条件连续性条件0 2 D21222CPalCPa 06622113 lCPalDaCPa62PalC 2321PaPalC laPaD 321(4) C截面的挠度和转角截面的挠度和转角 laEIPaalEIPaaxC 3 326 :2C 9.4 9.4 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形叠加原理：叠加原理：当

7、梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、内力、应力、变形）等于每个载荷单独作用时所引起内力、应力、变形）等于每个载荷单独作用时所引起的该参量的代数和。的该参量的代数和。叠加法：叠加法：应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。 前提条件：前提条件：小变形，材料服从虎克定律。小变形，材料服从虎克定律。qPMMM PPMxEI 22dd qqMxEI 22dd MxEI 22dd 222222ddddddxEIxEIMMMxEIqpqP 22ddxEIqP * 表表11-1例例11-4-1：用叠加法求：用叠加法求C截面

8、的转角和挠度，设截面的转角和挠度，设EI为常量。为常量。alABPC解解：(1) 假设假设CA段为刚性，研究简支梁段为刚性，研究简支梁AB的变形所引起的的变形所引起的C截面的转角和挠度截面的转角和挠度xyPPaEIPalA3 EIPalAC31 EIlPaaCC3211 ABCPAC(2) 假设假设AB段为刚性，段为刚性，外伸段外伸段CA看作悬臂梁：看作悬臂梁：EIPaC222 EIPaC332 表表6.1第第2栏栏表表6.1第第5栏栏(3) 叠加法求叠加法求C截面的挠度和转角截面的挠度和转角 alEIPaCCC32621 laEIPaCCC 3221 例例11-4-11-4-2 等截面平面刚

9、架求自由端等截面平面刚架求自由端A的水平位移的水平位移xA 和竖直位移和竖直位移yA。abEICEIPAB刚化ABABPC2Ay刚化BCPCABABC1Ax1AyPaP等价等价PAB解解：(1) 刚化刚化AB段：段：(2) 刚化刚化BC段：段：刚化刚化AB: : 21EIbpaayBA 刚化刚化BC: : 332EIpayAA 2221EIpabxxxAAA( (3) ) 叠加：叠加： 221EIPabxBA 02 Ax2AyABC1Ax1AyPaPPAB 3 3221abEIpayyyAAA*逐段刚化法逐段刚化法2aABq例例11-4-3：用叠加法求梁中点：用叠加法求梁中点C挠度和梁端截面挠

10、度和梁端截面B的转角。的转角。CDE2lEIqalBR22 解：荷载对跨度中点解：荷载对跨度中点C对称，故对称，故C截面的截面的转角为转角为0。表表6.1第第2栏栏在在RB作用下：作用下：EIqalBR33 EIqaEqBq63 表表6.1第第4栏栏在在 q 作用下：作用下： EIlqaEIqaalEIqaEIqaalBqEqBq624 683434 Eq Bq qaRB qaRA BEqCBEqaRB ClqBEaqaRB C 9.5 9.5 梁的刚度计算及提高梁刚度的措施梁的刚度计算及提高梁刚度的措施一、刚度条件：一、刚度条件： max max叠加：叠加： laalEIqaBqBRBC23

11、34824 2236alEIqaBqBRB 二、应用：二、应用：2 设计截面设计截面1 刚度校核刚度校核3 确定许可载荷确定许可载荷 例11-5-1下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001,B点的 =0.001弧度,试核此杆的刚度.P P2 2A AB BC CD DP P2 2A AB BC CD DP P2 2B BL L 2 2C CA AB BL L 1 1L L 2 2C CMP P2 2A AB BC CP P1 1D D=+=P P2 2=2KN=2KNA AB BL=400mmL=400mma a=0

12、.1m=0.1mC CP P1 1=1KN=1KND D200200mmmmA AB BC CP P1 1D D=+图图1 1图图2 2图图3 3EIaLPafBC162111 EILPB16211 EILaPEIaPEIaLPfC3316223221 EILaPEIMLB3323 EILaPafBC32233 EILaPEILPB316221 解：结构变换，查表求简单 载荷变形。fx02 B EIaPfC3322 P P2 2=2KN=2KNA AB BL=400mmL=400mma a=0.1m=0.1mC CP P1 1=1KN=1KND D200200mmmmP P2 2B Ba aC

13、 CA AB BL La aC CMP P2 2叠加求复杂载荷下的变形m1019. 533166223221 EILaPEIaPEIaLPfC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度弧度 EILaPEILPB 48124444m1018810)4080(6414. 3)(64 dDI 001.010423.04max LfLfmax m101019.556max fmf校核刚度9.5.2 9.5.2 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施EIMx 22dd 挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程：CxEIMx ddd 转角方程转角方程DCxxxEIM

14、dd 挠度方程挠度方程C、D 积分常数；由边界条件和连续性条件确定。积分常数；由边界条件和连续性条件确定。梁的弯曲刚度条件：梁的弯曲刚度条件： max max梁的弯曲正应力强度条件：梁的弯曲正应力强度条件： zWMmaxmax一、选择合理的截面一、选择合理的截面若若Iz对于面积相等的不同形状的截面，对于面积相等的不同形状的截面，则则、梁的抗弯刚度提高。梁的抗弯刚度提高。工字形、槽形、工字形、槽形、T形截面比面积相等的矩形截面有更高的形截面比面积相等的矩形截面有更高的弯曲刚度。弯曲刚度。说明：说明：各种钢材的弹性模量各种钢材的弹性模量E大致相同，故采用高强度钢材不能大致相同，故采用高强度钢材不能提高弯曲刚度。提高弯曲刚度。IzA选择选择较大的截面较大的截面二、改善梁的受力情况二、改善梁的受力情况 ，减小弯矩，减小弯矩1. 合理安排梁的约束，减小梁跨。合理安排梁的约束，减小梁跨。(b)2. 改变加载方式，尽量使荷载分散或靠近支座。改变加载方式，尽量使荷载分散或靠近支座。(b)(a)(a)