第9章 一元线性回归

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1、第 9 章 一元线性回归9.1 变量间关系的度量变量间关系的度量 9.2 一元线性回归的估计和检验一元线性回归的估计和检验9.3 利用回归方程进行预测利用回归方程进行预测9.4 用残差检验模型的假定用残差检验模型的假定 回归分析研究什么？l假定因变量与自变量之间有某种关系，并把这种关系用适当的数学模型表达出来，那么，就可以利用这一模型根据给定的自变量来预测因变量，这就是回归要解决的回归要解决的问题问题l在回归分析中，只涉及一个自变量时称为一元回归，涉及多个自变量时则称为多元回归。如果因变量与自变量之间是线性关系，则称为线性回归线性回归(linear regression)；如果因变量与自变量之

2、间是非线性关系则称为非线性回归非线性回归(nonlinear regression)怎样分析变量间的关系？l 建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之间的关系。分析变量之间的关系需要解决下面的问题l变量之间是否存在关系？l如果存在，它们之间是什么样的关系？l变量之间的关系强度如何？l样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？ 9.1.1 变量间是什么样的关系？函数关系1.是一一对应的确定关系2.设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中

3、x 称为自变量，y 称为因变量3.各观测点落在一条线上 相关关系(几个例子)l子女的身高与其父母身高的关系子女的身高与其父母身高的关系u从遗传学角度看，父母身高较高时，其子女的身高一般也比较高。但实际情况并不完全是这样，因为子女的身高并不完全是由父母身高一个因素所决定的，还有其他许多因素的影响l一个人的收入水平同他受教育程度的关系一个人的收入水平同他受教育程度的关系u收入水平相同的人，他们受教育的程度也不可能不同，而受教育程度相同的人，他们的收入水平也往往不同。因为收入水平虽然与受教育程度有关系，但它并不是决定收入的惟一因素，还有职业、工作年限等诸多因素的影响l农作物的单位面积产量与降雨量之间

4、的关系农作物的单位面积产量与降雨量之间的关系u在一定条件下，降雨量越多，单位面积产量就越高。但产量并不是由降雨量一个因素决定的，还有施肥量、温度、管理水平等其他许多因素的影响相关关系(correlation)1. 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定2. 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值对应着一个分布分布3. 各观测点分布在直线周围 9.1.2 用散点图描述相关关系散点图(scatter diagram)用散点图描述变量间的关系(例题分析)【例例9-1】为研究销售收入与广告费用支出之间的关系，某医药管理部门随机抽取20家药品生产企业，得到它们的年销售收入和广告费用支出(万元)的数据如

5、下。绘制散点图描述销售收入与广告费用之间的关系 散点图(销售收入和广告费用的散点图)9.1.3 用相关系数度量关系强度相关系数(correlation coefficient)1.度量变量之间线性关系强度的一个统计量若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为 rl也称为Pearson相关系数 (Pearsons correlation coefficient)2.样本相关系数的计算公式 22)()()(yyxxyyxxr相关系数的性质性质性质1：r 的取值范围是 -1,1|r|=1，为完全相关lr =1，为完全正

6、相关lr =-1，为完全负正相关r = 0，不存在线性线性相关关系-1r0，为负相关0r1，为正相关|r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱相关系数的性质性质性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间 的相关系数相等，即rxy= ryx性质性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的 数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小性质性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用 于描述非线性关系。这意为着， r=0只表示两个 变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之 间没有任何关系性质性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不 一定意味着x与

7、y一定有因果关系相关系数的经验解释1. |r|0.8时，可视为两个变量之间高度相高度相关关2. 0.5|r|0.8时，可视为中度相关中度相关3. 0.3|r|0.5时，视为低度相关低度相关4. |r|0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关5. 上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上相关系数的显著性检验(检验的步骤)1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系2.采用R.A.Fisher提出的 t 检验3.检验的步骤为提出假设：H0： ；H1： 0计算检验的统计量用Excel中的【TDIST】函数得双尾计算P值，并于显著性水平比较，并作出决策 若P，拒绝H0)2(1

8、22ntrnrt相关系数的显著性检验(例题分析)【例例9-3】检验销售收入与广告费用之间的相关系数是否显著 (0.05)1.提出假设：H0： ；H1： 02.计算检验的统计量3. 用Excel中的【TDIST】函数得双尾P=2.743E-090.05，拒绝H0，销售收入与广告费用之间的相关系数显著 789.109306. 012209306. 02t相关系数的显著性检验(SPSS输出结果)9.2.1 一元线性回归模型什么是回归分析？(regression analysis)1. 重点考察考察一个特定的变量(因变量)，而把其他变量(自变量)看作是影响这一变量的因素，并通过适当的数学模型将变量间的

9、关系表达出来2. 利用样本数据建立模型的估计方程3. 对模型进行显著性检验4. 进而通过一个或几个自变量的取值来估计或预测因变量的取值一元线性回归1. 涉及一个自变量的回归2. 因变量y与自变量x之间为线性关系被 预 测 或 被 解 释 的 变 量 称 为 因 变 量(dependent variable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 3. 因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示一元线性回归模型(linear regression model)1.描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称

10、为回归模型回归模型2.一元线性回归模型可表示为 y = b b + + b b1 1 x + + ny 是 x 的线性函数(部分)加上误差项n线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化n误差项 是随机变量l反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响l是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性nb0 和 b1 称为模型的参数一元线性回归模型(基本假定) 1.因变量x与自变量y之间具有线性关系2.在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的3.误差项 满足l正态性正态性。 是一个服从正态分布的随机变量，且期望值为0，即 N(0 , 2 ) 。对于一

11、个给定的 x 值，y 的期望值为E(y)=b0+ b1xl方差齐性方差齐性。对于所有的 x 值， 的方差一个特定的值，的方差也都等于 2 都相同。同样，一个特定的x 值， y 的方差也都等于2l独立性。独立性。独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关；对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关估计的回归方程(estimated regression equation)1. 总体回归参数 和 是未知的，必须利用样本数据去估计2. 用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程估计的回归方程3. 一元线