线性定常系统的状态空间分析与综合

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1、机机 械械 控控 制制 理理 论论第七章第七章线性定常系统的状线性定常系统的状态空间分析与综合态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论经典控制理论现代控制理论线性定常系统线性定常、非线性、时变系统单输入-单输出系统多输入-多输出系统传递函数（或者微分方程）状态空间分析法（由状态变量构成的一阶微分方程组）只研究输入-输出的关系，不包含其他相互独立的中间变量的信息（即不包含系统的所有信息）输入-输出通过中间变量反映，反映了系统的全部独立变量的变化，即反映了全部内部状态o经典控制理论和现代控制理论之间的区别 2.研究方法 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间

2、分析与综合1.研究问题区别 机机 械械 控控 制制 理理 论论7-1 状态变量及状态空间表达式 一、定义一、定义 1 1、状态变量的定义、状态变量的定义：能够完全确定系统运动状态的最小个数的一组独立变量 注：、n阶系统（即用n阶微分方程描述的系统）有n个独立变量； 、状态变量不是唯一的，但数目是唯一的； 、状态变量在t=t0时刻已知时（初始条件），且tt0时输入给定时，可完全确定系统在任何时刻tt0时的行为（因n个独立的初始条件已知时，n阶微分方程有唯一确定的解） 2 2、状态矢量、状态矢量 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制

3、理理 论论由n个状态变量x1(t),x2(t)xn(t)组成的矢量x(t)称为状态矢量，即12( )( )( )( )nx tx tx tx t 或12( )( ),( ),( )Tnxtx tx tx t3 3、状态空间和状态轨迹、状态空间和状态轨迹 状态变量 为坐标轴所构成的维空间称为状态空间。 为状态空间的一个初始点， 为状态空间中对应t t时刻的一个点。当t t由 时 在状态空间中形成点的轨迹，称为状态轨迹。 12nx xx、 、00( )( )t tx tx t( )x t0tt( )x t第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控

4、 制制 理理 论论4 4、状态方程、状态方程 由系统状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。 例建立如图所示R-L-C网络的状态方程。 解:当给定独立变量 和 的初始位置系统在任何时刻的状态便可确定，故选 和 为状态变量 由电路原理得包含这两个状态变量的一阶微分方程组，即为状态方程 即 cuicuiccduicdtdiR iuLUdt 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在右端的标准形式，即为 111ccuicRiuiULLL 1cxu2xi若令 写成矩阵形式112210011x

5、xcuxxRLLL第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论01bLxAxbu12xxx12xxx101cAcLL 或式中( (要适应矩阵表达方法要适应矩阵表达方法) ) 写出状态方程的步骤：写出状态方程的步骤： 确定状态变量（完全、确定的描述系统的最少独立变量个数） 写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在等式右端的标准形式 由物理规律写出关于状态变量的一阶微分方程组第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论1cxu1yx5 5、输出方程、输出方程 反映

6、系统输出于状态变量间的函数关系式称为输出方程，对应例，若输出用Y表示，确定 作为输出，则输出方程为 或 写成矩阵形式 或 式中 (或 )cyu1210 xyxTyc x0Tc 110c 步骤步骤：写入输出和状态变量的表达式将该表达式写成矩阵形式第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论7 7、状态变量的非唯一性和状态方程的非唯一性、状态变量的非唯一性和状态方程的非唯一性 如之例 取 和 为两个状态变量 令 和 则 即 由电路原理（在原状态方程中消去 i） cucu 1cxu2cxu 12cxux12xx11cccRuuuuL

7、LcLc即21211RxxxuLcLLc 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合6、状态空间表达式、状态空间表达式 状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式。机机 械械 控控 制制 理理 论论 可见在同一系统中，状态变量选取不同时，状态方程也不同。一般地，从工程实际出发，把容易测量的量作为状态变量。 状态变量的非唯一性，如果是状态矢量，只有矩阵P是非奇异的（满秩），那么也是状态矢量。01011xxuRLcLLc第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论二、单输入二、单输入-单输

8、出定常系统状态空间表达式的一般形式单输出定常系统状态空间表达式的一般形式 设状态变量为12,nx xx，则状态方程的一般形式为：111 112211221 1222221 122nnnnnnnnnnnxa xa xa xbuxa xa xa xb uxa xa xa xb u输出方程式一般有： 1 122nnyc xc xc x写成向量矩阵形式的状态空间表达式为xAxbuTy Cx 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论式中 12nxxxx 为n维状态矢量111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 为（n

9、n）维系统矩阵（反映了系统内部状态的联系）12nbbbb为（1n）维矩阵（列阵）即为输入矩阵或者控制矩阵（反映了输入对状态的作用） 第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论12ncccc为（1n）维输出矩阵，（建立了输出和状态的联系） 111 1122111 11221221 1222221 122221 1221 122nnrrnnrrnnnnnnnnnrrxa xa xa xb ub ub uxa xa xa xb ub ub uxa xa xa xb ub ub u第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定

10、常系统的状态空间分析与综合三、多输入-多输出的状态空间表达式（如具有r个输入，m个输出）状态方程一般为机机 械械 控控 制制 理理 论论输出方程一般为111 1122111 11221221 1222221 122221 1221 122nnrrnnrrmmmmnnmmmrryc xc xc xd ud ud uyc xc xc xd ud ud uyc xcxcxd udud u其状态空间表达式的矢量矩阵形式为xAxBuy CxDu 式中 和 -同单输入系统，分别为xAn维状态矢量和nn维系统矩阵12nuuuu-为r维输入（或控制）矢量第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系

11、统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论12nyyyy-为m维输出矢量1112121222123nnnnnbbbbbbbbbB-为nr维输入（控制）矩阵1112121222123nnnnncccccccccC-为mn维输出矩阵第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的状态空间分析与综合机机 械械 控控 制制 理理 论论 -为 维直接传递矩阵 （输入直接传递到输出） 一般地（除特别说明），为简单起见，令 ，即不考虑输入矢量的直接传递作用。1112121222123nnnnndddddddddDm r0D第七章第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合线性定常系统的