第2章 自由振动分析

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1、高等结构动力学第二章第二章高等结构动力学自由振动分析高等结构动力学高等结构动力学高等结构动力学( )IDSfffp t(2-1) Sfkv(2-2a) IfmvDfcv (2-2b) (2-2c)高等结构动力学( )0IDSfvfvfvp tv( )mvcvkvp t (2-4) (2-5)因 不为零v单自由度体系的运动方程( )mvcvkvp t （2-3）高等结构动力学高等结构动力学12Tmv212VUkv( )ncWp tvcv v (2-6a*) (2-6b*) (2-6c*)体系动能由弹簧表达的位能力所作功的变分高等结构动力学21( )0ttmvcvkvp tvdt (2-9*)21

2、( )0ttmv vcv vkv vp tv dt d vvdt222111ttttttmv vdtmv vmv vdt (2-7*) (2-8*)整理由得到由变分的 任意性可得( )mvcvkvp tv高等结构动力学图 2-2 重力对单自由度体系平衡的影响高等结构动力学( )mvcvkvp tW (2-6)stvvSstfkvkkv( )stmvcvkkvp tW (2-7) (2-8) (2-9) 弹簧力得stkW由( )mvcvkvp t(2-10)( )mvcvkvp t (2-11)总挠度、应力即为动力结果与静力结果的和高等结构动力学图 2-3 支座激励对单自由度体系平衡的影响 （a

3、）体系的运动; (b)平衡力系高等结构动力学体系平衡0IDSffftIfmv0tmvcvkv (2-12) (2-13) (2-14)惯性力得tgvvv0gmvmvcvkv( )( )geffmvcvkvmvtpt (2-15)(2-16)(2-17)质量总位移得高等结构动力学tttggmvcvkvcvkv代入tgvvv0mv cv kv( )tttggeffmvcvkvcvkvpt支座激励的第二种列式得地震测量为加速度，速度和位移需要积分一次和两次才可获得，少用！将质量总位移(2-18)高等结构动力学高等结构动力学 *m v tc v tk v tpt（2-19）高等结构动力学高等结构动力学

4、 0mv tcv tkv t stv tGe(2-21)(2-20)exp( )ststeRIGGiG或exp()GGicosRGGGGsinIiGiGRe图 2-4 复平面中的复常数表示法高等结构动力学 首先讨论复常数G，它可以如图2-4所示用复平面的一个矢量来表示。此图表明矢量可用实、虚部cartesian分量来表示。 （2-22a）也可以在极坐标中用绝对值 （即矢量的长度）和自实轴逆时针转过的角度来表示： （2-22b）另外，由如图所示的三角关系，显然式（2-22a）可改写为 （2-22c）利用这个表达式并注意到 及 ，容易证明一个矢量和i相乘，是该矢量在复平面中逆时针旋转 弧度和90度

5、的结果。同样，乘以-i可以看成是顺时针旋转90度的结果。现在令式（2-22c）和式（2-22b）相等，同样注意到负的虚部分量对应于负的矢量角，这可得到用于三角函数与指数函数变换的Euler对：RIGGiGGcossinGGiGcossin(2)sincos(2) 2exp()GGi高等结构动力学exp()cossinexp()cossiniiii1cosexp()exp()2sinexp()exp()2iiiii20stmscsk Ge2km(2-24)(2-23)高等结构动力学220cssm(2-25)高等结构动力学高等结构动力学 12i ti tv tGeG e (2-26) (2-27)

6、cossini tetit sincosv tAtBt (2-9*) (2-31) 0vB 0vA 0sin0 cosvv ttvt (2-33)C0si 高等结构动力学图 2-7 无阻尼自由振动反应图 2-8 自由振动旋转矢量表示高等结构动力学2f21Tf cosv tt 2200vv 10tan0vv(2-34)(2-35)(2-36)(2-37)(2-38)高等结构动力学高等结构动力学2222ccsmm 2ccm (2-40) (2-39) 12tv tGG t e 001ttvvtv t e(2-42)(2-43)122ccssm (2-41)高等结构动力学图 2-9 具有临界阻尼的自

7、由振动反应高等结构动力学2ccccm (2-44)22s Dsi 21D 1212DDDDt itt ititittv tGeG eeGeG e sincostDDv teAtBt(2-48) (2-45) (2-46) (2-47)高等结构动力学图 2-10 频率比与阻尼比之间的关系图 2-11 低阻尼体系自由振动反应高等结构动力学 00sin0 costDDDvvv tetvt (2-49) costDv tet (2-50) 1222000Dvvv (2-51)高等结构动力学 100tan0Dvvv212ln221nnDvv22(2)122!e (3-34*) (2-52)高等结构动力学

8、21nnveev112nnnvvv2nn mn mvvm v(2-59)(2-56)(2-57)高等结构动力学21s 21 (2-60)1 sinhcoshtv teAtBt (2-62)(2-61)高等结构动力学高等结构动力学将广义单自由度结构区分为二类：（1）刚体的集合，在这种集合中弹性变形完全限定于在局部的弹簧元件中发生；（2）体系具有分布弹性，在这个体系里变形可以在整个结构上或它的某些元件上连续。高等结构动力学高等结构动力学 ( , )v x tx Z t ( , )v x txZ t 201( , )2LTm xv x tdx (2-23*) (2-24*) (2-25*)高等结构动

9、力学 201( , )2LtVEI x vx tdx 201( , )2Le tv x tdx20( , )2LNNVv x tdx (2-26*) (2-27*) (2-28*)210ttTV dt 21000,( , )0tLLtttLm x vx tv dxEI x vx tvx dxNv x tvdx dt 高等结构动力学tgvvvvZvZtvvvZ vZ vZ (2-30*) 212002 200( )( )()0tLLgtLLZ Zm xdxZv tm xdxZ ZEI xdxNZ Zdx dt (2-31*)vZ 高等结构动力学21*( )0tgefftm Zk Zk ZptZd

10、t(2-32*) *20Lmm xdx广义质量 * 20()LkEI xdx广义刚度2*0LgkNdx广义几何刚度*0( )( )Leffgptvm xdx 广义有效荷载(2-33*)高等结构动力学*( )( )( )effm Z tk Z tpt*gkkk (2-34*)(2-35*)高等结构动力学 2* 200()0LLgcrkkkEI xdxNdx 2020()LcrLEI xdxNdx （2-36*） 高等结构动力学*( )( )( )( )m Z tc Z tk Z tp t ,( )v x tx Z t 2*2200Liiiimm xxdxmI 2*20Liicc xxdxc(2-

11、37*)(2-38*)高等结构动力学 22*200LLiikk xxdxEI xxdxk(2-39*) 2*0LGkNxdx (2-40*) 2*0LGkN xxdx(2-40a*) 高等结构动力学 *0( )( , )Liip tp x tx dxp(2-41*)*k*Gk*-k高等结构动力学高等结构动力学 广义单自由度体系得特性（d）弹性特征（e）轴向荷载（f）作用荷载高等结构动力学 , ,w x y tx y Z t(2-42*),sinsinxyx yab(2-43*)广义坐标适用于将二维体系简化为单自由度体系高等结构动力学2*2,Aiimm x yx ydAm222222*22222 1AkDdAxyxyx y 2*,Aiipm x yx ydAp32/12 1DEh 板的弯曲刚度