极限的求法总结

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1、极限的求法总结极限的求法总结简介：求极限方法举例，列举简介：求极限方法举例，列举21种种 求极限的方法和相关问题求极限的方法和相关问题1.1.代入法求极限代入法求极限221.lim(2)xxx例01012.( ).,lim( ).nnnnnxxP xa xa xaP x例 设有多项式 求nnxxnxxnxxaxaxaxP110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xPn多项式函数与分式函数多项式函数与分式函数( (分母不为分母不为0)0)用用代入法求极限代入法求极限; ;方法总结：方法总结：221563.lim32xxxx例商的法则商的法则(代入法代入法)2

2、.2.由无穷大量和无穷小量的关系求极限由无穷大量和无穷小量的关系求极限2141 lim.23xxxx例求解解0)32(lim21xxx商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系, ,得得.3214lim21 xxxx解解例例4 4.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )0

3、0(型型( (消去零因子法消去零因子法) )3.3.消去零因子法消去零因子法)00(型型例例.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 ( (无穷小因子分出法无穷小因子分出法) )4.4.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母

4、中自变量的最高次幂除分子子, ,分母分母, ,以分出无穷小量以分出无穷小量, ,然后再求极限然后再求极限. ., 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxammmnnnx当当当.84152lim221xxxxx求练习练习1221lim.nnnn求练习练习2503020) 12()23()32(limxxxx练习练习347882(21)(1)lim(1)xxxx162)1 ()1 ()2(lim48218278178414xxxxxxx练习练习4例例).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n222221lim)21(limnn

5、nnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限. .5.5.先变形再求极限先变形再求极限( (利用求和化简，拆项技巧，合并化简等利用求和化简，拆项技巧，合并化简等) )2111lim(.)1 33 541nn例 2111lim(.)1 33 541111111lim(1.)23352121111lim(1)2212nnnnnnn211111:()41(21)(21)2 2121nnnnn拆项2112 lim()11xxx例222112111212lim()lim()1111111 limlim112xxxxxxxxxxxx对于求无穷多项的

6、极限和不符合四则运对于求无穷多项的极限和不符合四则运算的极限，先通过变形在求极限算的极限，先通过变形在求极限; ;方法总结：方法总结：2005年数学三考研试题（第三大题15小题8分）011(15)lim().1xxxex 例例.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxxxxysin 6.6.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限201limsin.xxx练习1. 求1limsin .xxx练习2. 求01lim sin.xxx练习3. 求1lim sin.xxx练习4. 求0sinlim.xxx练习5

7、. 求例例).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点 ,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故7.7.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限例例 求极限求极限22lim(31)xxx8.8.分子（母）有理化求极限分子（母）有理化求极限【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。2222222222(31)(31)lim (31)li

8、m312 lim031xxxxxxxxxxxxx220+42lim.+93xxx例 求( (分子分母有理化消去零因子分子分母有理化消去零因子) )222222220022220+42(+42)(+42)(+93)limlim+93(+42)(+93)(+93)(+93)3 lim2(+42)xxxxxxxxxxxxxxx9.9.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限利用夹逼准则（两边夹法）则求极限说明：两边夹法则需要放大和缩小不等式，常用的方法是都换成最大的和最小的。 例例).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1

9、 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn说明：这种说明：这种n n项和的极限有时也可以转化为定积分来计算，项和的极限有时也可以转化为定积分来计算， 这道题是不可以的。这道题是不可以的。 01x33sin01 sinnnxxxx33111sin10,0001 sin11nnnxxxdxx dxxnn1lim 0lim01xxn331sinlim001 sinnxxxdxx解： 当时，（积分不容易计算）故因为所以331sinlim01 sinnnxxdxx例例10. 10. 用等价无穷小量代换求极限用等价无穷小量代换求极限2

10、:(1) sin tan arcsin arctan ln(1)1;(2)1 cos ;2(3)1 ;(4)ln(1) ;0(5)1 ln ;(6)(1)1.xxxxxxxxxexxexxxaxxxxa当常用的等时:价无穷小量0ln(1)lim1 cosxxxx002ln(1)limlim211 cos2xxxxx xxx例：求极限解20(1)ln(1)1. lim1 cosxxexx201sin12. lim1 cosxxxx30tansin3. limxxxx练习：练习：2005年数学三考研试题(第一大题填空题第1小题4分)22(1)lim sin.1xxxx 2009年数学三考研试题(第

11、二大题填空题第9小题4分)cos320(9)lim.11xxeex 2008年数学三考研试题(第三大题第15题10分)201sin(15)limln.xxxx 11. 11. 应应用两个重要极限求极限用两个重要极限求极限0sinlim1xxx1011lim(1)lim(1)lim(1)xnxxnxxexn两个重要极限是和第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限 例：求极限1lim1xxxx【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1X，最后凑指数部分。解2121221212limlim 1lim1111112xxxxxxxexxxx例例.)11(lim