微分几何第一章

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1、微微 分分 几几 何何几何几何学学解析几何微分几何其它几何初等几何用微积分方用微积分方法研究几何法研究几何图形的性质图形的性质包括平面几包括平面几何和立体几何和立体几何何用代数的方用代数的方法研究图形法研究图形的几何性质的几何性质金融几何金融几何代数几何代数几何计算几何计算几何教材教材彭家贵、陈卿：彭家贵、陈卿：微分几何微分几何，高等教育出版社，高等教育出版社（20022002）参考书参考书书书梅向明、黄敬之：梅向明、黄敬之：微分几何微分几何（第四版），高（第四版），高等教育出版社出版（等教育出版社出版（20082008）陈维桓：陈维桓：微分几何初步微分几何初步，北京大学出版社，北京大学出版社

2、（19991999）周振荣、杨文茂、郑高峰、赵玮：周振荣、杨文茂、郑高峰、赵玮：微分几何微分几何，武汉大学出版社（武汉大学出版社（20082008）教材与参考书蓝色字母代表向量、向量函数或者矩阵，蓝色字母代表向量、向量函数或者矩阵，如如 a 、 r (u,v)、A 等等粉红色字母代表特殊常数，如圆周率粉红色字母代表特殊常数，如圆周率 p p 和和自然对数的底数自然对数的底数 e 等等黄色字母代表特殊函数（如正弦函数黄色字母代表特殊函数（如正弦函数 sinq q 等）、特殊空间（如欧氏空间等）、特殊空间（如欧氏空间 R3 、平面、平面R2 和实数集和实数集 R）、特殊向量（如单位坐标）、特殊向量

3、（如单位坐标向量，如向量，如 i 、 j 、 k ）或者变换群）或者变换群字母右上角的字母右上角的撇撇号代表对一般参数求导数，号代表对一般参数求导数，右上角或者顶上的右上角或者顶上的圆点圆点代表对弧长参数求代表对弧长参数求导数导数符号说明第一章内容概要本章讨论三维欧氏空间的向量代数、向量微本章讨论三维欧氏空间的向量代数、向量微积分、合同变换群等内容，这些内容是后面积分、合同变换群等内容，这些内容是后面讨论曲线曲面的微分几何时所需要的讨论曲线曲面的微分几何时所需要的向量代数包括向量的线性运算（加法和数向量代数包括向量的线性运算（加法和数乘）、向量积、内积、混合积、向量的长度乘）、向量积、内积、混

4、合积、向量的长度和夹角等内容，其中拉和夹角等内容，其中拉格朗日公式格朗日公式是这一节是这一节的重点的重点向量函数的微积分和普通函数的微积分基本向量函数的微积分和普通函数的微积分基本类似，所以本节作为一般了解类似，所以本节作为一般了解返回章首1.1向量代数向量代数内容：向量积、内积、混合积的性质与计内容：向量积、内积、混合积的性质与计算算重点：拉格朗日公式重点：拉格朗日公式返回章首集合集合 R3 = (x, y, z) | x, y, zR 称为三维实向称为三维实向量空间，其元素量空间，其元素 (x, y, z) 叫做一个向量。叫做一个向量。aijkO返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -

5、向量向量例如例如 i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1) 是是 R3 的三个向量。的三个向量。除了除了 i 、j 、k 这三个向量以外，我们一般用这三个向量以外，我们一般用蓝色小写英文字母或希腊字母表示向量，如蓝色小写英文字母或希腊字母表示向量，如a 、 r 、a a、 b b 等。等。几何上，我们用一个箭几何上，我们用一个箭头表示向量，箭头的起点头表示向量，箭头的起点叫向量的起点，箭头的末叫向量的起点，箭头的末端点叫向量的终点。端点叫向量的终点。再设再设 a = (x, y, z)，lR，则，则 l 与与 a 的的数数乘乘定义为定义为 la = lxi + l

6、yj + lzk = (lx, ly, lz).设设 a1 = (x1, y1, z1)，a2 = (x2, y2, z2)，则它们则它们的的和和定义为定义为 a1 + a2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). a1 a2 a1+a2a la 返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -线性运算线性运算设设 i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1) ，则任意，则任意向量向量 a = (x, y, z) 可表示为可表示为 a = xi + yj + zk（如（如图）图）aijkOzkyjxixi+yj= xi+yj+zk返回章首1.11.1

7、 向量代数向量代数- -向量向量设设 ai = (xi , yi , zi)（i = 1, 2）是是 R3 中中的两个的两个向量，它们的向量，它们的内积内积定义为定义为a1 a2 = x1x2 + y1y2 + z1z2内积内积具有如下性质：具有如下性质：正定正定性性a a 0，等式成立，等式成立当且仅当当且仅当 a = 0；对称性对称性a b = b a；线性线性性性a (kb + hc) = ka b + ha c向量向量 a 的的长度长度为为 |a| = (a a)1/2；长度长度为为 1 的的向量叫向量叫单位向量单位向量返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -内积内积1.11.1

8、向量代数向量代数- -两个不等式两个不等式定理定理. . 对对任意的两个任意的两个向量向量 a、bR3 有有下下面两个不等式成立：面两个不等式成立：许瓦滋不等式许瓦滋不等式a b |a| |b|闵可夫斯基不等式闵可夫斯基不等式|a + b| |a| + |b|这两个不等式中的等式成立的充分必要条这两个不等式中的等式成立的充分必要条件件是是 ab返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -两向量的夹角两向量的夹角向量向量 a 与与 b 的夹角为的夹角为如果两个向量的夹角是如果两个向量的夹角是 p p/2/2，就称这两个，就称这两个向量相互向量相互垂直垂直或或正交正交因此两向量正交的充因此两向量正

9、交的充分必要条件是它们的内积为零分必要条件是它们的内积为零arcco.|s|qa ba b由许瓦兹不等式可知由许瓦兹不等式可知 | cosq q | 1. .返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -距离距离两两个个向量向量 a、b 作为作为 R3 的的点，它们之间的点，它们之间的距离距离定义定义为为 d(a,b) = |a b|在在 R3 上上装备装备了这样的距离函数之后就叫了这样的距离函数之后就叫欧氏空间欧氏空间距离具有如下性质：距离具有如下性质： 正定正定性性d(a, b) 0，等式，等式成立成立当且仅当当且仅当 a = b； 对称性对称性d(a, b) = d(b, a)； 三角不等

10、式三角不等式d(a, b) d(a, c) + d(c, b)返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -向量积向量积aba bq q伸出右手，让大拇指和四指垂直，让四指从伸出右手，让大拇指和四指垂直，让四指从向量向量 a 朝向量朝向量 b 旋转一个较小的角度（旋转一个较小的角度（小于小于180180）到达）到达 b，则大拇指所指的方向就是，则大拇指所指的方向就是 a b 的方向的方向（如图）（如图）设向量设向量 a、b 的夹角为的夹角为 q q，则它们的则它们的向量积向量积（也叫（也叫外积外积）a b 是这样一个向量，其长度是这样一个向量，其长度为为 |a b| = |a| |b| sinq

11、 q，方向满足右手法则：，方向满足右手法则：返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -向量积的性质根据向量积的定义，我们有根据向量积的定义，我们有i j = k, j k = i, k i = j.反交换律：反交换律：a b = b a（见下图）（见下图）分配律：分配律：a (b + c) = a b + a c.aba babb a返回章首1.11.1 向量代数向量代数- -向量积的计算公式向量积的计算公式12111222xyzxyzaaijk 注意：注意：| | a b | | 等于由等于由 a 和和 b 张成的平行张成的平行四边形的面积四边形的面积（如图） 设设 ai = (xi ,