高等几何64节

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1、云云 南南 师师 范范 大大 学学1高等几何（第二版高等几何（第二版 朱德祥朱德祥 朱维宗编）朱维宗编）云南师范大学数学学院云南师范大学数学学院 第六章第六章 二次曲线的射影性质二次曲线的射影性质云云 南南 师师 范范 大大 学学2提提 纲纲一、本节主要内容一、本节主要内容二、极与极线的概念二、极与极线的概念三、极点、极线性质三、极点、极线性质四、极与极线的作图四、极与极线的作图五、极与极线的应用五、极与极线的应用云云 南南 师师 范范 大大 学学3 为进一步探讨二次曲线的射影性质以及二次曲线为进一步探讨二次曲线的射影性质以及二次曲线的射影分类，有必要介绍的射影分类，有必要介绍极极与与极线极线

2、的理论。在本节的理论。在本节中假设二次曲线是常态的，即其系数矩阵的秩为中假设二次曲线是常态的，即其系数矩阵的秩为3.3.一、本节主要内容一、本节主要内容 在本节中将由共轭点的定义（定义在本节中将由共轭点的定义（定义6.5）引出）引出极与极线的概念（二次曲线的切点与切线是极与极极与极线的概念（二次曲线的切点与切线是极与极线的特殊情形），在此基础上，探讨极与极线的性线的特殊情形），在此基础上，探讨极与极线的性质与作图，推导极与极线的方程。为了探讨二次曲质与作图，推导极与极线的方程。为了探讨二次曲线的射影分类，将给出线的射影分类，将给出自极三角形自极三角形的概念，取自极的概念，取自极三角形为坐标三角

3、形，是探讨二次曲线射影分类的三角形为坐标三角形，是探讨二次曲线射影分类的起点。起点。云云 南南 师师 范范 大大 学学4在射影坐标下，二次曲线在射影坐标下，二次曲线 的的方程为：方程为：3jiij1x x00 .ijijijijijaaaaRa， ，二、极与极线的概念二、极与极线的概念1.共轭点共轭点下面求不在下面求不在 上的两已知点上的两已知点y与与z的连线和的连线和 的交点。的交点。连线上任意一点可以写为：连线上任意一点可以写为：(1,2,3)iiixyzi若此点在若此点在 上，则其坐标上，则其坐标xi应满足应满足 的方程。的方程。云云 南南 师师 范范 大大 学学5即交点是二次方程：即交

4、点是二次方程：由此可得：由此可得：220.ijijijijijija z za y za y y 的根111222(1),:(1,2,3)iiiiiiyzyzPxyzPxyzi 当时，直线 与 必有两个交点（实的或虚的）.二、极与极线的概念二、极与极线的概念云云 南南 师师 范范 大大 学学6112122(2), ,y z P Pyz P P四 点的 交 比 为 （）112212(3)10,y zP P 特别的：若，即，则点关于成调和共轭。由此得： yz1P2P二、极与极线的概念二、极与极线的概念云云 南南 师师 范范 大大 学学7定义定义6.5 如果两点如果两点P、Q（P不在曲线上）的连线与

5、不在曲线上）的连线与二阶曲线二阶曲线交于两点交于两点M1、M2,且且(M1M2,PQ)= -1，则称则称P、Q关于二阶曲线关于二阶曲线成成共轭点共轭点。二、极与极线的概念二、极与极线的概念由此易证：由此易证：定理定理6.6 不在上的两点不在上的两点y,z关于二次曲线关于二次曲线0ijija x x 成共轭的条件是成共轭的条件是0.ijija y z （证明参看教材（证明参看教材P.116P.116）云云 南南 师师 范范 大大 学学8定理定理6.7 通过一已知点通过一已知点y引诸直线，这些直线与引诸直线，这些直线与的每一对交点有的每一对交点有y的一个调和共轭点，即的一个调和共轭点，即y关于关于

6、的的一个共轭点。这些共轭点的轨迹是一条直线，这条一个共轭点。这些共轭点的轨迹是一条直线，这条直线叫做点直线叫做点y的的极线极线，点，点y称为这直线的称为这直线的极极。证明：在定理证明：在定理6.6的共轭条件中，把的共轭条件中，把y看作定点的坐看作定点的坐标，而把标，而把z看作动点的坐标，显然看作动点的坐标，显然z点轨迹是一直线，点轨迹是一直线，方程为方程为二、极与极线的概念二、极与极线的概念2.极线与极极线与极0,ijija y z 230.ijji1111221331211222233311322333写出来（利用a =a ）即(a y +a y +a y )z(a y +a y +a y

7、)z(a y +a y +a y )z云云 南南 师师 范范 大大 学学9命题：命题：二次曲线的一组平行弦的调和共轭点二次曲线的一组平行弦的调和共轭点的轨迹是弦的垂直平分线。换言之，若极的轨迹是弦的垂直平分线。换言之，若极为无穷远点，则对应的极线是平行弦的垂为无穷远点，则对应的极线是平行弦的垂直平分线。直平分线。【注【注】若若为中心二次曲线，则此极线是为中心二次曲线，则此极线是的主直径。的主直径。三、极点、极线性质三、极点、极线性质云云 南南 师师 范范 大大 学学10三、极点、极线性质三、极点、极线性质6.8.yzzy定理（）点 的极线过点的原则极线过配极zylzl证明：由假设，点证明：由假

8、设，点y的极线通过点的极线通过点z ，即，即点点z是点是点y的诸共轭的诸共轭点之一，因而倒转来，点之一，因而倒转来，点点y也是点也是点z的诸共的诸共轭点之一。所以点轭点之一。所以点z的极线通过点的极线通过点y.云云 南南 师师 范范 大大 学学111z2zyl1zl2zl3zl3z定理定理6.9（这是定理（这是定理6.8的推论）设点的推论）设点z 在点在点y的极的极线上移动，那么点线上移动，那么点z的极线绕点的极线绕点y而转动。即是说而转动。即是说在极与极线的对应中，点与直线对应，点列与直在极与极线的对应中，点与直线对应，点列与直线束对应。线束对应。三、极点、极线性质三、极点、极线性质云云 南

9、南 师师 范范 大大 学学12 pqyzyzyzyzqqq定理定理6.10 若一点若一点z在它自身的极线上（即在它自身的极线上（即y是自是自共轭点），则共轭点），则y在二次曲线上，反之也成立。在二次曲线上，反之也成立。三、极点、极线性质三、极点、极线性质证明参看教材证明参看教材P.117P.117云云 南南 师师 范范 大大 学学136.110.ijijyyya y x 定理若点，则点 关于之极线恰为在 处的切线，其方程为121122200.,(1,2,3),ijijijijiii iiiiya y yya yzyzP PPxyzPxyz i证明：由假设点 在 上，所以，现在以z表示 关于 的