风险度量CVaR的介绍和计算详解

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1、风险度量风险度量CVaR的介绍和计算的介绍和计算2013.10内容提要 1、单期风险度量 2、CVaR一、介绍 1、单期风险度量11111121212 ( , )( , ) ( ) ( , )Rmonotone(translation invariant,()().XLPPLXFxXLPXXXL XLXXc令表示上可积的随机变量的集合,简记为 。设 为损失，其分布为，且 可积。若映射 ：，满足下面的单调性()和风险平移不变性)称为是一个：(1)：若,单调性平移不变度量性,则(2)：若常数FFF1,()().R XLXcXc,则一致性风险度量(Coherent risk measure)1112

2、121212,0,1 (1)()(1) ().XXXL XLXXXX 风险度量的（Convex）：若, ，则凸性1Positive Homogeneity0()=().XLXX 若一个有凸性的风险度量满足如下的正齐次性（），则称其为风险度一致量。：若,，则齐性正次性1112121212Subadditivity,()()().XXXL XLXXXX次可加当一个风险度量满足正齐次性时，则凸性与次可加性（）等价。若,则性： 风险度量也用四个性质定义：单调性、平移不变性、正齐一致次性、 次性可加性。单调性单调性:：损失越大风险越大：损失越大风险越大平移不变：原损失加一个确定的损失，只相当于原风险加一

3、个确定数。平移不变：原损失加一个确定的损失，只相当于原风险加一个确定数。次可加：风险可以分散化，子公司风险之和大于集团的风险，并购不会增加次可加：风险可以分散化，子公司风险之和大于集团的风险，并购不会增加风险风险正齐次：并购同类业务，没有分散化效应。正齐次：并购同类业务，没有分散化效应。但很多时候风险不会线形增加，但很多时候风险不会线形增加，有争议。有争议。Value-at-risk (VaR)()inf |( ), (0,1)qXVaRXxR FxqqVaR 的主要缺点的主要缺点:1、 次可加性不是一般成立的（椭圆分布时有次可加性）次可加性不是一般成立的（椭圆分布时有次可加性）2 、只考虑了

4、不利情况（不能接受的损失水平）发生的、只考虑了不利情况（不能接受的损失水平）发生的概率，没有考虑不利情况发生时的损失程度。概率，没有考虑不利情况发生时的损失程度。3、对参数、对参数q敏感。敏感。Conditional Value-at-risk (CVaR)11()(),1 ()(1) (|()1 1inf( ) min ( ):1,0.()=, (0,11).1quqqqXqb RCVaRXVaRX duqVaRXE XXVaRXEbEXbX ZEZZqFVaRXqqqq其中()= (|(). qqXCVaRXE XXVaRX若 为连续分布时+= (|()= (|(),qqCVaRE X X

5、VaRXCVaRE X XVaRX，upper CVaRlower CVaRFrom Uryasev (2000)nAverage value-at-risk （AVaR）nConditional tail expectation (CTE)nConditional VaR （CVaR）nExpected Shortfall (ES)nTail VaR（TVaR）传统上银行业比较支持传统上银行业比较支持VaR，保险业更多考虑不利时的损，保险业更多考虑不利时的损失数量失数量CVaR。只考虑违约的话，。只考虑违约的话，VaR比较合适。比较合适。模拟大样本时的VaR和CVaRnVaR=quantil

6、e(sort(x),alpha);nCVaR=mean(x(xVaR);模拟的股票价格轨道0501001502002503000.80.850.90.9511.051.11.151.20501001502002503000.70.750.80.850.90.9511.051.11.151.21000条模拟的股票价格轨道（ r=0.04;sigma=0.3; ）0501001502002503000.40.60.811.21.41.61.822.22.4n计算一年后的损失20%的概率n计算一年后，不利情况发生时（发生概率小于5%）的最小损失值（VaR）n计算一年后，不利情况发生时（发生概率小于5

7、% ）的平均损失值（CVaR）1(0.8)0.2370.8P S 计算走到以下的轨道有多少条0501001502002503000.70.750.80.850.90.9511.051.11.151.21(0.8)0.2370.8P S 计算走到以下的轨道有多少条0501001502002503000.40.60.811.21.41.61.822.22.4237条0.051()0.589350VaRS计算损失最大的条轨道中最小损失值0501001502002503000.40.60.811.21.41.61.822.22.450条？0.051()0.518850CVaRS计算损失最大的条轨道的平

8、均损失值0501001502002503000.40.60.811.21.41.61.822.22.450条0.58930501001502002503000.40.50.60.70.80.911.11.21.30.58930.51880.051()0.518850CVaRS计算损失最大的平条轨道的均损失值Matlab程序1n主程序cleartt=funsp(1000);plot(tt) s1=tt(end,:);pp=sum(s10.8)/1000alpha=0.05VaR=quantile(sort(s1),alpha)CVaR=mean(s1(s1VaR)n=find(s1VaR)hh=

9、y=tt(:,n)plot(y)Matlab程序2n子函数function hh=funsp(Num)hh=for i=1:Num T=1;N=255; step=T/N; S(1)=1; r=0.04;sigma=0.3; R=normrnd(0,1,1,N); for n=1:N S(n+1)=S(n)*exp(r-0.5*sigma2)*step +sigma*step0.5*R(n); end hh=hh,S;end一些CVaR相关的应用文献n金融投资和贷款组合优化 Krokhmal et al. (2002) 、陈剑利和李胜宏(2004) 、迟国泰等(2009)n供应链运营管理 于辉等(2011)、叶飞等(2009)n电力和原材料采购 郭兴磊等(2011)、颜勤江等(2009)、安智宇和周晶(2009)n生产优化 桂云苗等(2011)、 周任军等(2011)n保险产品的设计 Consiglio et al.(2009)n数据挖掘领域 Takeda和Kanamori (2009) 。