高级数学微积分教程第四章 多元函数微分学多元函数概念[教学].ppt

高级数学微积分教程第四章_多元函数微分学多元函数概念[教学]多元函数微分学
第一节 多元函数及其连续性
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第一节 多元函数及其连续性
一 多元函数的概念
1. 平面点集:
将 x, y 看作平面上的点的坐标,则两个变量的变化范围就相当于平面上的一个点集.
(1) 邻域:
(2) 内点:
设 ,如果存在 ,则称 为E的内点.
全部由内点组成的集合称为开集.
(3) 边界点:
若P的任意邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则P为边界点.
边界点的集合称为边界.
多元函数及其微分法
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设E 为开集,若E 中任何两点都能用位于E 内的折线连接起来,则称E为开区域.
(4) 区域:
开区域+边界称为闭区域
区域
如果存在正数M,使得E中任何点到原点的距离都小于M,则称E 为有界域,否则无界域.
注意:以上概念可推广到 n 维空间.
2. 二元函数的定义
设D是平面点集,若对于D中的每一个点P(x,y),变量z按照一定的法则,总有确定的值和它对应,则称z是x,y的二元函数
自变量
因变量
定义域
的范围为值域
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例(1)
定义域是无界闭区域
定义域是有界闭区域
1
1
1
1
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3. 二元函数的图形
将 x, y, z 看作空间直角坐标系中点的坐标,则二元函数通常表示一张曲面.
它在 xoy 面上的投影就是函数的定义域.
二.二元函数的极限
定义:
设函数f(x,y)在区域D内有定义, 是D 的内点或边界点,
当 时
则
x
y
z
z=f(x,y)
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也可表示为
注:
(1).二元函数的极限称为二重极限;
(2).二重极限存在,是指P(x,y) 以任何方式趋于 时,
f(x,y)都无限接近于A.
故如果P(x,y)沿不同路径趋于 时, f(x,y)趋于
不同的值,可断定极限不存在.
(3).