【成才之路】高中数学 第三章 函数学 的应用 函数学 模型及其应用 数学 学模型的建立课件 新人教版必修1.ppt

章末归纳总结
一、深刻领会函数与方程的关系，才能有效的解决函数与方程的问题，而函数的零点与方程的根的关系，二分法求方程的近似解是基础．
1．方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．零点判断法：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
3．二分法的定义：
对于在区间[a，b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
4．用二分法求零点的近似值的步骤：
第1步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
第2步：求区间(a，b)的中点x1；
第3步：计算f(x1)．
(1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
(3)若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．
第4步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第2步至第4步．
[例1]　若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是 (　　)
A．a<－1　　　　　 B．a>1
C．－1<a<1 D．0≤a<1
[解析]　令f(x)＝2ax2－x－1，方程在(0,1)内恰 有一个解，即函数f(x)在(0,1)内恰有一个零点，
∵f(0)＝－1＜0，故必有f(1)＝2a－2＞0，∴a＞1.故选B.
[例2]　函数f(x)＝x3－3x2－4x＋12的零点个数为(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
[解析]　f(x)＝x2(x－3)－4(x－3)＝(x－3)(x－2)(x＋2)
∴f(x)＝0有三个零点3，－2,2.故选D.
[例4]　方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围为________ .
[答案]　(－5，－4]
[例5]　用二分法求方程x＝3－lgx在区间(2,3)内的近似解，要求精确到0.1，则至少要计算________次．
二、熟练掌握各种常见函数模型的图象与性质，明确其增长率的变化特征，才能在解决实际问题时，恰当地选取函数模型，使所学函数知识服务于生活、生产、科研．
1．增长率与函数图象．
[例1]　某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%，若经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致是
(　　)
[解析]　设某林区的森林蓄积量原有1个单位，则经过1年的森林蓄积量为1＋10.4%；
经过2年的森林蓄积量为(1＋10.4%)2；
…
经过x年的森林蓄积量为(1＋10.4%)x
(x≥0)，即y＝(110.4%)x(x≥0)；
∵底数110.4%大于1，根据指数函数的图象，故应选D.