初一数学竞赛讲座自然数的有关性质.docx

初一数学比赛讲座自然数的相关性质
初一数学比赛讲座自然数的相关性质
初一数学比赛讲座自然数的相关性质
初一数学比赛讲座 (一 )
自然数的相关性质
一、知识重点
1、 最大条约数
定义 1
假如 a1,a2, ,an 和 d 都是正整数，且
d∣ a1,d ∣ a2, , d∣an ，那么 d 叫做 a1,a2, ,an 的条约数。条约
数中最大的叫做 a1 2
n
1
2
n
,a , ,a 的最大条约数，记作
(a
,a , ,a ).
如对于 4、 8、 12
这一组数，明显
1、 2、4
都是它们的条约数，但
4 是这些条约数中最大的，所以
4 是它
们的最大条约数，记作
(4,8,12)=4.
2、 最小公倍数
定义 2
假如 a1 2
n
1
2
n
1 2n
,a , ,a 和 m 都是正整数，且
a ∣m, a
∣ m, , a ∣ m，那么 m 叫做 a ,a , ,a 的公倍数。公
倍数中最小的数叫做 a1,a2, ,an 的最小公倍数，记作 [a1,a2, ,an].
如对于 4、 8、12
这一组数，明显
24、48、 96 都是它们的公倍数，但
24 是这些公倍数中最小的，所以24
是它们的最小公倍数，记作 [4,8,12]=24.
3、 最大条约数和最小公倍数的性质
性质 1 若 a∣ b, 则 (a,b)=a.
性质 2
若 (a,b)=d,且 n 为正整数，则 (na,nb)=nd.
性质 3 若 n∣ a, n∣ b, 则 a , b
a, b .
n n
n
性质 4
若 a=bq+r (0 ≤ r<b), 则 (a,b)= (b,r) .
性质 4 本质上是求最大条约数的一种方法，这种方法叫做展转相除法。
性质 5 若 b∣ a, 则 [a,b]=a.
性质 6 若 [a,b]=m, 且 n 为正整数，则 [na,nb]=nm.
性质 7 若 n∣ a, n∣ b, 则 a , b
a,b
.
n n
n
4、 数的整除性
定义 3
对于整数 a 和不为零的整数
b，假如存在整数
q，使得 a=bq
建立，则就称 b 整除 a 或 a 被 b 整除，
记作 b∣ a，若 b∣ a，我们也称 a 是 b 倍数；若 b 不可以整除 a，记作 ba
5、 数的整除性的性质
性质