中考数学 专题4 韦达定理应用探讨.doc
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中考数学_专题4_韦达定理应用探讨.doc2013年中考攻略专题4
韦达定理应用探讨
韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学****法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研 数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幕，带来了代数学理论研究的 重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二 次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之 父”。
h c*
韦达定理说的是：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a ^0）有二实数根X[, x?,则Xj+x2 =——，*x2=- o a a
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a, b, c的关系。其逆命题：如果X], X2满 h c
足X]+x° =——，x1 -x2=—,那么X], X?是一元二次方程ax2+bx+c=0（a^0）的两个根也成立。
a 一 a -
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式A=b2 -4ac > 0 o
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数 学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积；②求对称代数式的值；③构造■一元二 次方程；④求方程中待定系数的值；⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。下面通过近年全 国各地中考的实例探讨其应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两 根积。
典型例题：
例1： （2012湖北武汉3分）若X】、惣是一元二次方程x2—3x+2=0的两根，则X1+x2的值是【 】
-2 B. 2 C. 3 D. 1
【答案】Co
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x】+x2=3。故选C。
例2： （ 2001湖北武汉3分）若XI、处是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则X1 • x2的
值是【 】
A. 4. B. 3. C. -4. D. - 3.
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
c 3
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得x,-x2=-=-=3o故选B。
a 1
例3： （2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为- 4的是【 】
A. x2+2x - 4=0 B. x2 - 4x+4二0 C. x2+4x+10=0 D. x2+4x - 5=0
【答案】Do
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为・4,必须方程根的 判别式△二b? - 4ac^0,且X1+X2二-—=-4O据此逐一作出判断：
a
x2+2x - 4=0： A=b2 - 4ae=20>0, xi+x2= - —= - 2,所以本选项不合题意；
a
x2 - 4x+4=0： A=b2 - 4ac=0, xi+x2= - — =4,所以本选项不合题意；
a
x2+4x+10=0： A=b2 - 4ac= - 28<0,方程无实数根，所以本选项不合题意；
1_
x2+4x - 5=0： b2 - 4ac=36>0,, xi+x2=-—二-4,所以本选项符号题意。
a
故选Do
例4： （2012广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x'+x+m二0的一个实数根为1,那么它的另一个实 数根是【 】
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】Ao
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】设方程的另一个实数根为x,则根据一元二次方程根与系数的关系，得x+1二一1,解得x=-2o 故选Ao
练****题：
（2007重庆市3分）已知一元二次方程2x2-3x-1 = 0的两根为x】、x2,贝!j xi+x?二 ▲ 。
（2005浙江湖州3分）已知一元二次方程x?+12x-7 = 0的两个根为x】、x2,则xi+x?的值是【 】
A. -12 E. 12 C. -7 D. 7
（2011广西来宾3分）已知一元二次方程x2+mx - 2=0的两个实数根分别为Xi、x2,则Xi • x2= A
（2011湖北咸宁3分）若关于兀的方程x2 - 2x + m = 0的一个根为-1,则另一个根为【 】
A. —3 B. -1 C. 1 D. 3
（2011云南昆明3分）若xi, X2是一元二次方程2x2 - 7x+4二0的两根，则xi+x?与xi・X2的值分别是【 】
7 7 7 7
A、- 一， -2 B> -
韦达定理应用探讨
韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学****法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研 数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幕，带来了代数学理论研究的 重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二 次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之 父”。
h c*
韦达定理说的是：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a ^0）有二实数根X[, x?,则Xj+x2 =——，*x2=- o a a
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a, b, c的关系。其逆命题：如果X], X2满 h c
足X]+x° =——，x1 -x2=—,那么X], X?是一元二次方程ax2+bx+c=0（a^0）的两个根也成立。
a 一 a -
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式A=b2 -4ac > 0 o
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数 学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积；②求对称代数式的值；③构造■一元二 次方程；④求方程中待定系数的值；⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。下面通过近年全 国各地中考的实例探讨其应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两 根积。
典型例题：
例1： （2012湖北武汉3分）若X】、惣是一元二次方程x2—3x+2=0的两根，则X1+x2的值是【 】
-2 B. 2 C. 3 D. 1
【答案】Co
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x】+x2=3。故选C。
例2： （ 2001湖北武汉3分）若XI、处是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则X1 • x2的
值是【 】
A. 4. B. 3. C. -4. D. - 3.
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
c 3
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得x,-x2=-=-=3o故选B。
a 1
例3： （2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为- 4的是【 】
A. x2+2x - 4=0 B. x2 - 4x+4二0 C. x2+4x+10=0 D. x2+4x - 5=0
【答案】Do
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为・4,必须方程根的 判别式△二b? - 4ac^0,且X1+X2二-—=-4O据此逐一作出判断：
a
x2+2x - 4=0： A=b2 - 4ae=20>0, xi+x2= - —= - 2,所以本选项不合题意；
a
x2 - 4x+4=0： A=b2 - 4ac=0, xi+x2= - — =4,所以本选项不合题意；
a
x2+4x+10=0： A=b2 - 4ac= - 28<0,方程无实数根，所以本选项不合题意；
1_
x2+4x - 5=0： b2 - 4ac=36>0,, xi+x2=-—二-4,所以本选项符号题意。
a
故选Do
例4： （2012广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x'+x+m二0的一个实数根为1,那么它的另一个实 数根是【 】
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】Ao
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】设方程的另一个实数根为x,则根据一元二次方程根与系数的关系，得x+1二一1,解得x=-2o 故选Ao
练****题：
（2007重庆市3分）已知一元二次方程2x2-3x-1 = 0的两根为x】、x2,贝!j xi+x?二 ▲ 。
（2005浙江湖州3分）已知一元二次方程x?+12x-7 = 0的两个根为x】、x2,则xi+x?的值是【 】
A. -12 E. 12 C. -7 D. 7
（2011广西来宾3分）已知一元二次方程x2+mx - 2=0的两个实数根分别为Xi、x2,则Xi • x2= A
（2011湖北咸宁3分）若关于兀的方程x2 - 2x + m = 0的一个根为-1,则另一个根为【 】
A. —3 B. -1 C. 1 D. 3
（2011云南昆明3分）若xi, X2是一元二次方程2x2 - 7x+4二0的两根，则xi+x?与xi・X2的值分别是【 】
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A、- 一， -2 B> -
中考数学 专题4 韦达定理应用探讨
