排列、组合及二项式定理.docx

排列、组合二项式定理
一、 排列、组合
解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
计数原理
(1)分类计数原理：N二m + m + + m (m为各类办法中的方法数)
1 2 n i
(2)分步计数原理：N二m
1
m m (m为各步骤中的方法数)
2 n i
2•排列、组合
2.1排列：从n个不同元素中，任取m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A m.
n
Am = n(n- 1)(n-2) (n- m +1)= _①、(m< n) 规定：0! = 1
n (n - m)!
2.2组合：从n个不同元素中任取m (mWn)个元素并组成一组，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cm.
n
C Am
Cm = nn Am
n(n -1)
(n - m +
1)
n!
m!
规定：C0 = 1
n
Am
Cm = n
n Am
n(n -1) (n - m +1)
m!
Cm =
n
n!
m!(n - m)!
组合数的性质：Cm = Cn一m， Cm + Cm-1 = Cm ， Co + C1 + + Cn = 2n
n n n n n+1 n n n
特别提醒：排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.
2.3解题方法
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间 接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
考点一:排列问题
例1六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站两端;
8
4
_一
55
(2)甲、乙必须相邻；A5 A2 =240 (
5 2
(3)甲、乙不相邻;
8
4
_一
25
•A
4 4
A
(4)甲、乙之间间隔两人；A2 A3
4 3
= 144(种)
5）甲、乙站在两端；
=48（种）
6）甲不站左端，乙不站右端
A5 +A1
54
①甲站右端有A 5种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端 =504（种）站法.
考点二:组合问题
男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人.选派 5 人外出比赛.在下列情形中各有多 少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；C3 C2 =120 64
2） 至少有 1 名女运动员； C5 -C5=246
10 6
3） 队长中至少有 1 人参加； C5 -C5=196
10 8
4）既要有队长，又要有女运动员
49
45
C
-
48
例 3 4 个不同的球， 4 个不同的盒子，把球全部放入盒内
（I）恰有1个盒不放球，共有几种放法？ C1C2C1
443
2）恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ 144
44
I
3）恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？ C2（ C3 C1A
4 4 1
练****br/>22
22
84
-
1，从 5 名男医