浅谈分类思想在几何中的应用.doc

浅谈分类思想在几何中的应用.doc浅谈分类思想在几何中的应用
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情 况予以考查。这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是 —种解题策略。
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类 的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解， 提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。正确的分类必须是周全的, 既不重复、也不遗漏。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2） —次分类按 一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行；（4）以性质、公式、定理的使 用条件为标准分类的题型。
题型1.考查数学概念及定义的分类。
例1已知直线AB上一点C,且有CA=3AB,则线段CA与线段CB之比 为 3 ： 2 或 3 ： 4。
练****已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线 段AB的中点，线段BC=3cm,点N为线段BC的中点，求线段MN的长。
解析：（1）点C在线段AB上；（2）点C在线段AB的延长线上。
例2.下列说法正确的是（）。
A.两条线段相交有且只有一个交点。
B.如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。
C两条射线不平行就相交。
D.不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。
题型2：考查字母的取值情况或范围的分类。
规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围 的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围。
例题1.如图1边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0, 2） 一次函数尸x+t的图像1随t的不同取值变化时，位于1的右下方由1和 正方形的边围成的图形面积为S （阴影部分）。
（1） 当t取何值时，S=3?
（2） 在平面直角坐标系下（图2）,画出S与t的函数图像。
点拔：设1与正方形ABCD的交点为M, N,易知Z^MN是等腰Rtd 只有当 MD=2 时,SAMDN=1,那么 S=SDABCD-SDMDN=3,此时求得 t=4-2, 第（2）问中，随着t的变化，S的表达式发生变化，因而须分类讨论t在 不同取值时S的表达式，进而作出图像。
解：（1）设1与正方形ABCD的交点为M, N,
T1的解析式y=x+t,在x轴，y轴上所截线段相等。
ADMN 为等腰 RtADMN
VS=3, /. SADMN=SABCD-S=2 X 2-3=1
又 VSADMN= MD?ND= ND2
.*.MD=ND= 2, .*.0N=0D-DM=4- 2,
即D点的坐标为（0, 4- 2）
t=4- 2,即当 t=4- 2 时，S=3o
（2） •••直线1与y轴的交点M的坐标为（0, t）
.•.当 0<t<2 时，S= BM?BN= t2
当 2Wt〈4 时，S=SABCD-SADMN=- （t-4） 2+4
当 124 时，S=4 o
根据以上解析式，作图如图（2）。
变式思考：如图所示，在平行四边形ABCD中，AD=4cm, ZA=60° , BD丄AD, —动点P从A出发，以每秒lcm的速度沿A-B-C的路线匀速运 动，过点P作直线PM,使PM丄AD。
（1） 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E,求AAPE的面