中考探索开放题.doc
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2022-07-08 23:22:41上传
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中考探索开放题.doc（大连）已知：如图1,给出下列6个论断，①AB是00’的直径；②EC是OOi的切线；
③AC 是002 的直径；④BC • EC=DE • BD；⑤DE〃BC； ***@DE • BC=2CE2„
⑴将6个论断中的3个作为题设,2个论断作为结论，写出一个真命题，并加以证明； ⑵如果AB不是002直径（如图2）,你能否再从其余5个论断中选取一个论断作为题设，一 个论断作为结论，使其成为真命题（不要求证明）。若能，请写出两个；若不能，请你再添加 一个条件，写出两个真命题。
解：连接AE，
TAC为<9 0直径
ZAEC=ZADC=90°
:.AAECS AADC
■••CD=CE，EF=DF=|eD !
(1 ) TEC为00｛切线
ZECA=ZABC
V ZEDA+ZCAD=90°，ZABC+ZCAD=90
ZEDA=ZABC
••• ED 7 BC
故⑤DE" BC成立
'：△CFDs/kBDC
.DF CD
"CD=JC
又 VCD=CE > DF詩ED
•■•DE*BC=2CE2
故⑥DE*BC=2CE2.成立；
（2）能，
（I）②EC是OOj的切线作条件，⑤DE"BC作结论，
证明：
TEC是＜90［的切线
••• ZECA=ZCBA
•••同弧所对的圆周角相等
ZECA=ZADE
ZCBA=ZADE
•••DE"BC；
（II ）①AB是O0］的直径作为条件，⑥DE・BC=2CE2作为结论, TAC为直径
••• △CFDsZkBDC
.DF CD
"CD=JC
又 V CD=CE » DF=|eD
■■•DE*BC=2CE2.
（泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABBiAi的对称轴为y轴。
（1） 请画出：点A、B关于原点O的对称点A2、B2 （应保留画图痕迹，不必写画 法，也不必证明）；
（2） 连结A1A2、B1B2 （其中A?、B?为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分 线段 AiA?、B|Bt；
（3） 设线段AB两端点的坐标分别为A （-2 , 4）、B （-4 , 2）,连结（1）中A2B2 , 试问在x轴上是否存在点C ,使△AbC与△A2B2C的
周长之和最小？或存在，求出点C的坐标（不必说明 y八
周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由。
解：
解：⑴如图，A：、B：为所求的点.
（2）设A （xi, yi）、B （x：, y：）
依题意与（1）可得Ai （-xi, yi） , Bi （-x:, yj）,
•Ai、Bi关于x轴的对称点是A” B：,
Jx轴垂直平分纟戋段AiA:、B1B2.
（3）存在符合题意的C点.
由（2）知亠与A：, Bi与B：均关于x轴对称,
「.连接A：Bi交x轴于C,点C为所求的点.
-A （-2, 4）, B （-4, 2）依题意及（1）得： Bt （4, 2） , A3 （2, -4）.
设直线AB的解祈式为v=kx」b则有罟
2k+b=・4
解得
b=-10
..直线A2B1的解析式为y=3x-10.
A2
令y=0,得％=于，
的坐标为（学，0）
综上所述，点C （乎，0）能使与aA：B：C的周长之和最小.
（广州）已知ZXABC中，AC=5, BC = 12, ZACB = 90° , P是AB边上的动点（与点A、 B不重合）Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）.
（1 ）如图10 ,当PQ 〃 AC ,且Q为BC的中点时，求线段CP的长； （2）当PQ与AC不平彳丁时，ACPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ
的长的取值范围；若不可能，请说明理由.
（1） 在 Rt.AABC 中，ZACB=90° , AC=5, BC=12
AB=13. •/ Q是BC的中点.
CQ=QB.又I PQ〃AC. .I AP=PB,即 P 是 AB 的中点.
A 亠 1 13
RtAABC 中，CP= —AB=—；
2 2
（2） 当AC与PQ不平行时，只有ZCPQ为直角，ACPQ才可能是直角二角形.
以CQ为直径作半圆D.
当半圆D与AB相切时，设切点为M,连结DM,则DM丄AB,且AC=AM=5.
MB=AB-AM= 13-5=8.设 CD=x,则 DM=x, DB=12-x.
在 Rt.ADMB 中，DB2=DM2+MB2.即（12-x） ? =x?+够.
解之得：..很=也，所以CQ=—,即当CQ且点P运动到切点M位置时，
3 3
ACPQ为直角二角形.
20
当—VCQV12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，
3
△CP
③AC 是002 的直径；④BC • EC=DE • BD；⑤DE〃BC； ***@DE • BC=2CE2„
⑴将6个论断中的3个作为题设,2个论断作为结论，写出一个真命题，并加以证明； ⑵如果AB不是002直径（如图2）,你能否再从其余5个论断中选取一个论断作为题设，一 个论断作为结论，使其成为真命题（不要求证明）。若能，请写出两个；若不能，请你再添加 一个条件，写出两个真命题。
解：连接AE，
TAC为<9 0直径
ZAEC=ZADC=90°
:.AAECS AADC
■••CD=CE，EF=DF=|eD !
(1 ) TEC为00｛切线
ZECA=ZABC
V ZEDA+ZCAD=90°，ZABC+ZCAD=90
ZEDA=ZABC
••• ED 7 BC
故⑤DE" BC成立
'：△CFDs/kBDC
.DF CD
"CD=JC
又 VCD=CE > DF詩ED
•■•DE*BC=2CE2
故⑥DE*BC=2CE2.成立；
（2）能，
（I）②EC是OOj的切线作条件，⑤DE"BC作结论，
证明：
TEC是＜90［的切线
••• ZECA=ZCBA
•••同弧所对的圆周角相等
ZECA=ZADE
ZCBA=ZADE
•••DE"BC；
（II ）①AB是O0］的直径作为条件，⑥DE・BC=2CE2作为结论, TAC为直径
••• △CFDsZkBDC
.DF CD
"CD=JC
又 V CD=CE » DF=|eD
■■•DE*BC=2CE2.
（泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABBiAi的对称轴为y轴。
（1） 请画出：点A、B关于原点O的对称点A2、B2 （应保留画图痕迹，不必写画 法，也不必证明）；
（2） 连结A1A2、B1B2 （其中A?、B?为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分 线段 AiA?、B|Bt；
（3） 设线段AB两端点的坐标分别为A （-2 , 4）、B （-4 , 2）,连结（1）中A2B2 , 试问在x轴上是否存在点C ,使△AbC与△A2B2C的
周长之和最小？或存在，求出点C的坐标（不必说明 y八
周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由。
解：
解：⑴如图，A：、B：为所求的点.
（2）设A （xi, yi）、B （x：, y：）
依题意与（1）可得Ai （-xi, yi） , Bi （-x:, yj）,
•Ai、Bi关于x轴的对称点是A” B：,
Jx轴垂直平分纟戋段AiA:、B1B2.
（3）存在符合题意的C点.
由（2）知亠与A：, Bi与B：均关于x轴对称,
「.连接A：Bi交x轴于C,点C为所求的点.
-A （-2, 4）, B （-4, 2）依题意及（1）得： Bt （4, 2） , A3 （2, -4）.
设直线AB的解祈式为v=kx」b则有罟
2k+b=・4
解得
b=-10
..直线A2B1的解析式为y=3x-10.
A2
令y=0,得％=于，
的坐标为（学，0）
综上所述，点C （乎，0）能使与aA：B：C的周长之和最小.
（广州）已知ZXABC中，AC=5, BC = 12, ZACB = 90° , P是AB边上的动点（与点A、 B不重合）Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）.
（1 ）如图10 ,当PQ 〃 AC ,且Q为BC的中点时，求线段CP的长； （2）当PQ与AC不平彳丁时，ACPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ
的长的取值范围；若不可能，请说明理由.
（1） 在 Rt.AABC 中，ZACB=90° , AC=5, BC=12
AB=13. •/ Q是BC的中点.
CQ=QB.又I PQ〃AC. .I AP=PB,即 P 是 AB 的中点.
A 亠 1 13
RtAABC 中，CP= —AB=—；
2 2
（2） 当AC与PQ不平行时，只有ZCPQ为直角，ACPQ才可能是直角二角形.
以CQ为直径作半圆D.
当半圆D与AB相切时，设切点为M,连结DM,则DM丄AB,且AC=AM=5.
MB=AB-AM= 13-5=8.设 CD=x,则 DM=x, DB=12-x.
在 Rt.ADMB 中，DB2=DM2+MB2.即（12-x） ? =x?+够.
解之得：..很=也，所以CQ=—,即当CQ且点P运动到切点M位置时，
3 3
ACPQ为直角二角形.
20
当—VCQV12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，
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△CP
中考探索开放题
