全国高中数学联赛 历届真题.doc

全国高中数学联赛

历届真题
1981 第一届全国高中数学联赛
试题部分
一、选择题
下面 7 个题目各提出四个答案，将你认为正确的答案的英文字母代号填写在题后的括号内. 1． 条件甲：两个三角形的面积和二条边对应相等.条件乙两个三角形全等.
(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件
(C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件
答( )
2.条件甲:

1 +sin

q

=a .条件乙: sin
q
2

+cos
q
2

=a

.
(A)甲是乙的充分必要条件 (C)甲是乙的充分条件
(B)甲是乙的必要条件
(D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件
答( )
3.设

a ¹
kp sin a +tan a ( k =0, ±1, ±2,...) , T =
2 cos a 9 +cot a

.
(A)T 取负值
(C)T 取正值
(B)T 取非负值 (D)T 取值可正可负
答( )
4.下面四个图形中,哪一个面积最大?
(A)

ABC : ÐA =60 0 , ÐB =45 0 , AC =

2
(B)梯形:两对角线长度分别为 2 和 3 ,夹角为 (C)圆:半径为 1
(D)正方形:对解线的长度为 2.5

750
答( )
5.给出长方体
ABCD -A ' B ' C ' D '
,下列十二条直线:
AB ', BA ', CD ', DC ', AD ', DA ', BC ', CB ', AC , BD , A ' C ', B ' D '

中有多少对异面直线?
(A)30 对
(C)24 对

(B)60 对
(D)48 对

D'

C'
A'
B'
C
D
A

B
答( )
2
6.在坐标平面上有两个区域 M 和 N.M 是由

y ³0, y £x

,和

y £2 -x

这三个不等式确定的.N
是随

t

变化的区域,它由不等式

t £x £t +1

所确定的,

t

的取值范围是

0 £t £1

.设 M 和 N 的公
共面积是函数

f (t ) .则 f (t )

为:
(A)

-t

2

+t +

1
2

(B)

-2t

2

+2t
(D)
1 1
1 - t (D)
2 2

(t -2)

2

ÐBPQ =n
答( )
7.对方程

x | x | +px +q =0

进行讨论,下面的结论中,哪能个是错误的?
(A)至多有三个实根

(B)至少有一个实根
(C)仅当

p

2

-4 q ³0

才有实根

(D)当 p <0 和 q >0 时,有三个实根
答( )
二、下列表中的对数值有两个是错误的,请予纠