第三章_线性方程组

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1、高等代数3线性方程组第三章 线性方程组n 学时：18学时。n 教学手段：p 课堂讲授与学生自学讨论相结合，课堂练习和课后演练习题相结合，教师辅导答疑。n 基本内容和教学目的：p 基本内容：本章的基本内容是线性方程组理论，向量空间的基本理论以及几何空间平面和直线的简单性质。p 教学目的：p 1使学生准确理解线性方程组的全部理论和向量空间的线性相关性理论，p 2熟练地掌握线性方程组的解法，线性方程组有解的充分必要条件及其线性方程组解的结构。n 本章的重点和难点：p 用消元法解线性方程组，线性方程组解状况的判定定理及结构定理，向量组的线性相关性理论，线性空间的基础理论。 高等代数3线性方程组3.1

2、消消 元元 法法高等代数3线性方程组对一般线性方程组11 11221121 1222221 122,.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb（1）当m=n，且系数行列式0D 时，我们知方程组（1）有唯一解，其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时方程组是有解，还是无解。同时，当mn时，我们也没有解此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程高等代数3线性方程组组（1）进行研究。 在中学代数中，我们曾用加减消元法和代入消元法来解二元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解方程组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组： 解

3、方程组： 把未知量系数和常数按原顺序写成下表123123132314254226xxxxxxxx 213142542026把第1个方程分别乘以（-2）、（-1）加到第2个、3个方程把第1行分别乘以（-2）、（-1）加到第2、3行1232323231425xxxxxxx 213104120115高等代数3线性方程组把第3个方程分别乘以（-4）、1加到第2个、1个方程把第3行分别乘以（-4）、1加到第2、1行133232263185xxxxx 2026003180115把第2个方程与第3个方程互换位置把第2行与第3行互换位置132332265318xxxxx 2026011500318 分别把第1

4、个方程和第3个方程乘以12和 13分别用12和 13乘第1行和第3行13233356xxxxx 101301150016高等代数3线性方程组把第3个方程分别乘以（-1）、1加到第1、2个方程分别把把第3行乘以（-1）、1加到第1、2行123916xxx 100901010016在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三种变换：l 用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上；l 用一个非零数乘一个方程的两边；l 互换两个方程的位置。这三种变换总称为线性方程组的初等变换。如果把方程组写成 “数表” （矩阵）的形式,则解方程组就相当于对“数表” （矩阵）进行以下三种变换：l 用一个数乘矩阵的

5、某一行加到另一行上；l 用一个非零数乘矩阵的某一行；高等代数3线性方程组l 互换两行的位置。这三种变换被称为矩阵的初等行变换。 从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由方程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应的“变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛开具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。定义1（矩阵）：数域F上 m n个元素排成形如下数表ija称为矩阵的或 F111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为数域上的m行n列矩阵，简称m n阶矩阵，记为m nAijm na。ijaija元素，i称为元素所在行的行下标，j称为元素 所在列的n n

6、当m=n时，矩阵亦称为方阵。列下标。高等代数3线性方程组若 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，则111212122212nnnnnnaaaaaaaaa称为矩阵A的行列式，记为A注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。定义2（矩阵的初等变换）：以下三种变换称为矩阵的初等变换：l 用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上； （消法变换）l 用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换）l 交换矩阵中某两行（列）的位置。（换法变换） 为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决以下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否与原方程组同解。高等代数3线性方程组

7、证明：对第（1）种初等变换证明之。 由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程组的系数矩阵，记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩阵称为方程组的增广矩阵，记为A对方程组进行初等变换，其实质就是对方程组中未知量系数和常数项组成的矩阵A（称为增广矩阵）进行相应的初等变换，因此由定理3.1.1，我们有定理3.1.2 : 对线性方程组（1）的增广矩阵A进行行初等变换化为B，则以B为增广矩阵的线性方程组（2）与（1）同解。 由前面的讨论知，对一个线性方程组施行初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，那么我们要问：一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形式？方程组的初等变换把一

8、个线性方程组变为一个定理3.1.1:与它同解的线性方程组。高等代数3线性方程组定理3.1.3: 一个m n矩阵A，通过行初等变换及列换法变换可化为一下阶梯形1010001000000000000B r行这里0min,rm n。更进一步，通过行初等变换，可化为高等代数3线性方程组11121211000100010000000000rnrnrrtnccccCcc 所谓阶梯形矩阵是指：从它们的任一行看，从第一个元素起至该行的第一个非零元素止，它们所在位置的下方元素全为零；若该行全为零，则它的下方元素也全为零。证明：若A=0，则A已成阶梯形，若 0A，则A至少有一个元素不为0，不妨设110a， （否则

9、，设0ija ，我们可经行、列变换，使ija位于左上角）。把第一行分别乘以1111,2,3,iaaim加到高等代数3线性方程组第i行，则A化为111211112121222222112200nnnnmmmnmmnaaaaaaaaabbAAaaabb 用 111a乘第一行得：121222122100nnmmnbbbbAAbb 对 2A中的右下角矩阵2222nmmnbbbb类似考虑，若其为0，高等代数3线性方程组则结论成立；若其不为0，不妨设220b，用1222,3,ib bim乘第2行加到第i（i=3，m）行，然后用122b乘第二行得：121312322333331010000nnnmmnbbb

10、ccAAcccc 如此作下去，直到A化为阶梯形B为止。AB 对B进行一系列行的消法变换，则可以把B化为C。BC 定理中的r是矩阵A的秩，是一个确定的数，其意义以后再研究。高等代数3线性方程组112111,1112,122,1100000rnrnrrniriniiriniir rirnirrxcxc xdxcxc xdxcxc xdd定理3.1.4 线性方程组（1）与以下形式的线性方程组同解（2）其中12,niiixxx是 12,nx xx的一个排列。 只要证明线性方程组（1）的增广矩阵AA b经一系列行初等变换及列初等变换（但最后常数列不能交换）可化为矩阵：高等代数3线性方程组11112122

11、1110001000100000000000000000rnrnrrtnrrccdccdccdCd 以 C为增广矩阵的线性方程组就是（2）。由定理3.1.3知，A中的系数矩阵A经一系列行初等变换和列换法变换可化为C，这相应的一系列行初等变换和列换法变换就把C化为高等代数3线性方程组111121221112100010001000000000000000rnrnrrtnrrrnccdccdccdCddd 若 1,rndd中有一个不为零，不妨设10rd，否则可经行变换换到第r+1行，然后对r+2，n行进行行消法变换，可使20rndd。于是1C就化为C由定理3.1.4 可知：1、当 10rd时，方程