现代控制理论_第11章_参数估计方法
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1、第三篇 最优估计理论概 述在科学和技术领域中，经常遇到“估计”问题。所谓“估计”，就是对受到随机干扰和随机测量误差作用的物理系统，按照某种性能指标为最优的原则，从具有随机误差的测量数据中提取，信息估计出系统的某些参数状态变量。这就提出了参数和状态估计问题。这些被估参数或被估状态可统称为被估量。一般，估计问题分两大类，即参数估计和状态估计。一、参数估计参数估计属于曲线拟合问题。例如做完某项试验之后，得到若干个观测值 与相应时间 的关系 。我们希望以一条曲线来表示 和 的关系，设izit,1,2,iiz timzt 1 122nnz tx h tx htx ht式中 为已知的时间函数，一般是 的幂
2、函数、指数函数或正余弦函数等等。 为 个未知参数，它们不随时间而变。 12nh ththt、 、t12nxxx、 、 、n根据 对观测值 来估计未知参数。按照什么准则来估计这些参数呢？这将是第十章讨论的主要问题。m,1,2,iiz timmn；12nxxx、 、 、二、状态估计设系统的状态方程和观测方程分别为 ttttttttH tttxAxBuFwzxv 式中， 为状态变量，它是随时间而变的随机过程， 为控制变量， 为系统噪声， 为测量噪声， 为观测值。现要根据观测值来估计状态变量 ，这就是状态估计问题。卡尔曼滤波是一种最有效的状态估计方法，将在第十一章讨论这个问题。 tx tu tw tv
3、 tz tx 人们希望估计出来的参数或状态愈接近真值愈好，因此提出了最优估计问题。所谓最优估计，是指在某一确定的准则条件下，从某种统计意义上来说，估计达到最优，显然，最优估计不是唯一的，它随着准则不同而不同，因此在估计时，要恰当选择估计准则。 在自动控制中，为了实现最优控制和自适应控制，遇到许多参数估计或状态估计问题，促进了估计理论和估计方法的发展。另外，由于电子计算机的迅猛发展和广泛使用，使得许多复杂的估计问题的解决成为可能，这也促进了估计理论的发展。所以近二十多年来最优估计理论及其应用得到迅速的发展。第十一章 参数估计方法 本章讨论参数估计准则和估计方法，根据对被估值统计特性的掌握程度不同
4、，可提出不同的估计准则。依据不同的准则，就有相应的估计方法，即最小方差估计、线性最小方差估计、极大似然估计、极大验后估计、最小二乘估计等，本章将对这些估计方法进步不同程度的讨论。第一节 最小方差估计与线性最小方差估计 一、最小方差估计一、最小方差估计 最小方差准则，要求误差的方差为最小，它是一种最古典的估计方法，这呼估计方法需要知道被估随机变量 的概率分布密度 和数学期望 。这种苛刻的先验条件，使此方法在工程上的应用受到很大限制。这里只以一维随机变量的估计为例，介绍最小方差估计方法。x p x E x将上式展开，得 2222JExxE xxE xx 设有一维随机变量 ，它的概率密度 和常数期望
5、 ，都是已知的，求 的估值 。评价估计优劣的准则是 与 的误差的方差为最小，即x p x xE xmx x xx 22minJExxxxp x dx(11-1)求上式对 的偏导数，令偏导数等于零，得 x 22JxE xx因此 的最小方差估值为 ，估计误差为xxm 0 xxxxxxxxmE xE xR xE xmmm即 E xE x则 的最优估值为x xxE xxp x dxm(11-2) 如果估值 的数学期望等于 的数学期望，或者估计误差 的数学期望为零，则最小方差估计是无偏的。因此 的估计是无偏估计。 xx xx所以数学期望 是 的最小方差估计。xmx这种方法可以推广到多维随机变量的估值，这
6、里不再叙述。估计误差 的方差为 x 222xxxExmxmp x dx(11-3)二、线性最小方差估计二、线性最小方差估计 线性最小方差估计就是估计值为观测值的线性函数，估计误差的方差为最小。在使用这种方法时，需要知道观测值和被估值的一、二阶矩，即数学期望 和 、方差Varz和Varx及协方差 和 。 E z E xCov xz，Cov zx，的条件来确定系数 和 。ab式中 和 为两个待定常数。根据估计误差的方差ab22JExxExazbmin(11-5) 先讨论被估值 和观测值 都是一维随机变量的情况。线性最小方差估计是把 的估值 表示成 的线性函数，即xzxz x xazb(11-4)
7、求式(11-5)对 和 的偏导数，令偏导数等于零，可求得 和 两个系数。abba202JExazbzaJExazba (11-7)(11-6)从式(11-7)可得0 xzmamb式中 和 为 和 的数学期望，从此式可得xmzmxzxzbmam(11-8)将式(11-8)代入式(11-6)得0 xzExazmamz把上式改写成 0 xzzzExma zmzmm展开上式得02xzzxzzzExmzmm E xmaEzmam E zm 式中， 分别为随机变量 和 的均方根差， 为 与 的相关系数 。于是的估值为xz、xzxzxzCov,/xzxzax z 2Cov,xzxx zxazbmzm(11-
8、10)求上式的数学期望值，可得222220Cov,xzxzxzzxxxCov xzax za ，(11-9)估计误差为xxx 0 xzzzzxxzzxzzzxE xE xE mE zmmmmm 因此 。所以估计是无偏的。 E xE x 下面讨论 和 都是多维随机变量的估计问题。设 为 维， 为维，已知 和 的一、二阶矩，即 xzxxzznq VarVarzCov,Cov,E xE zx zz x、和假定 的估值 是 的线性函数xz x z xbAz式中， 是 维非随机常数向量， 是 非随机常数矩阵。nbAnq(11-11)估计误差方差阵为( )( ) TTJTraceExx zxx zExbA
9、zxbAz(11-12) 估计准则是方差阵J为最小，也可等价为方差阵J的迹 为最小，即 的各分量的方差之和为最小tJx minTtTJTraceEExbAzxbAzxbAzxbAz(11-13) 用函数对矩阵的微分法则（附录一），求 和 ，令 和 ，联立求解可得 。tJbtJA0tJb0tJAbA和220tzzJE xbAzbAmmb zzEEbmAmxAx 22220TtTTTTTTJEEEEEEE xbAzxbAzAAxbAz zxbxAzzAzzbzxx(11-15)(11-14)将式(11-14)代入式(11-15)得 000( , )0TTTTTTTTTTEEEEEEzEE z EE
10、EEEEEEEE zAVarzCov x zAzzxzAzzxAzzzxzxzAzzzzxxz因此 1CovVarAxzz、(11-16)将式(11-16)代入式(11-14)，可得 1CovVar EEbxxzzz、根据式(11-16)和式(11-17)求得 代入式(11-11)，得Ab和 11Cov,VarCov,VarzEExxxx zzzzmx zzzm(11-18) 1Cov,VarzEEEExxxmx zzzmmx由式(11-18)可得所以估计是无偏的。估计误差的方差阵为1Var -CovVarCovJxxzzzx、(11-19)第二节 极大似然法估计与极大验后法估计 一 、极大似
11、然法估计 极大似然法估计是以观测值出现的概率为最大作为估计准则的，它是一种常用的参数估计方法。 设 是连续随机变量，其分布密度为 ，含有 个未知参数 。把 个独立观测值 分别代入 中的 ，则得z12,np z n12,n k12,kz zz12,np z z12,1,2,inp zik ，称函数 为似然函数。当 固定时， 是 的函数。极大似然法的实质就是求出使 达到极大时的 的估值。从式(11-20)可看到 是观测值 的函数。L12,kz zzL12,n L12,n 12,n 12,n 12,kz zz将所得的 个函数相乘，得k1212121,kkniniL z zzp z ， ；(11-20
