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1、 向量最初被应用于物理学,很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算,把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学。 向量和复数是研究数学、物理及其他学科的有效工具。第一节向量的概念 在物理学中,我们经常遇到力、速度、位移等一些量,这些量除了要考虑它们的大小外,还要考虑它们的方向,这就是我们要研究的向量。一、 向量的概念我们把既有大小又有
2、方向的量称为向量(或矢量)。向量可用小写黑体字母表示,例如a、b、c。图8-1为了方便起见,向量通常用一条规定了起点与终点的有向线段来表示。以A为起点、B为终点的有向线段表示的向量记作,读作向量,如图8-1所示。有向线段的方向表示向量的方向,有向线段的长度表示向量的大小。向量a的大小称为向量a的长度,或称为向量a的模,记为|a|。二、 特殊向量和向量间的关系(1)零向量长度(模)为0的向量称为零向量,零向量的方向是任意的。(2)单位向量长度为1的向量称为单位向量。单位向量通常记作e,有|e|=1。 (3)负向量与向量a长度相等但方向相反的向量称为a的负向量,记为-a,特别地,有-=。(4)共线
3、向量方向相同或相反的向量称为共线向量(平行向量)。向量a与b共线(平行),记为ab。图8-2a中,向量a、b、c共线;图8-2b中,向量a、b不共线。 图 8-2 因为零向量方向的任意性,所以可以认为零向量与任何向量共线。(5)向量的相等长度相等且方向相同的向量称为相等的向量。向量a与向量b相等,记作a=b。相等的向量经过平移后可以完全重合。(6)自由向量一般情况下,我们只考察向量的大小和方向,而与起点无关,与起点无关的向量称为自由向量。 图 8-3 本书所讨论的向量均为自由向量,因此,任意两个相等的非零向量都可用同一有向线段表示。例 如图8-3所示,在平行四边形ABCD中找出与向量相等的向量
4、及负向量,找出与向量共线的向量。图 8-4解 与向量相等的向量有(=);向量的负向量有、(-=);与向量共线的向量有 、。第二节向量的运算一、 向量的加法 我们知道,数是可以进行加减运算的。同样,向量也可以进行加减运算,下面我们先学习向量的加法。例1 一辆汽车从A地向正东方向行驶100km到达B地,然后再从B地沿北偏东45方向行驶30km到达C地,如图8-5所示。问汽车两次行驶的总效果如何?解 总效果是汽车从A地出发到达C处。由上例很容易看出,位移刚好是位移与的和。求两个向量和的运算叫做向量的加法。加法法则1 已知向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,
5、即 上述这种作图求向量和的方法称为三角形法则。它的特点是:首尾相连接,折线变直线,如图8-6所示。图8-6三角形法则可推广到任意有限个向量的和。加法法则2 已知向量a、b,在平面内任取一点A,作=a,=b,以、为邻边作平行四边形ABCD,如图8-7所示。其对角线向量成为a与b的和。这种求向量和的方法称为平行四边形法则。它的特点是向量有公共始点。图8-7如果向量a=与向量b=在同一直线上,那么,规定它们的和是这样一个向量:若与的指向相同时,和向量的方向与原来两向量相同,其模等于两向量的模之和。若与的指向相反时,和向量的模等于两向量的模之差,其方向与模值大的向量方向一致。向量加法的运算规律:(1)
6、 交换律 a+b=b+a;(2) 结合律 (a+b)+c=a+(b+c);(3) a+0=0+a=a, a+(-a)=(-a)+a=0。 例2 已知向量a、b(图8-8a),求作向量a+b。 图 8-8作法:在平面内任取一点O(图8-8b),作=a,=b,则=a+b。例3 求下列各题向量的和。(1) +; (2)+。解 (1) +=+ =;(2) +=+(-)=+0=。向量a加上b的负向量,叫做a与b的差,记作a-b, 即a-b=a+(-b)。求两个向量差的运算,叫做向量的减法。二、 向量的减法如图8-9所示,已知a、b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b。即a-b可以表示为从向量b
7、的终点指向向量a的终点的向量。图8-9例4 如图8-10a,已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d。图8-10作法:如图8-10b所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,作、,则=a-b,=c-d。图8-11例5 如图8-11所示,在平行四边形ABCD中,=a,=b,用a、b表示向量、。解 由作向量和的平行四边形法则,得=a+b由作向量差的方法,知=-=a-b定义向量a与实数的乘积记作a,规定a是一个向量,它的长度|a|=|a|,它的方向当0时与a相同,当0时与a相反。当=0时,|a|=0,即a为零向量;当=1时, 有1a=a;当=-1时, 有(-1)a=-a。三、 数乘向
8、量 实数与向量相乘的运算称为向量的数乘运算,称为向量a的系数。数乘的几何意义是把向量a沿a的方向或反方向伸长或缩短。由数乘向量的定义知,向量a与向量a共线。数乘向量满足的运算律(,为实数):(1) 结合律 (a)=(a)=()a;(2) 分配律 (+)a=a+a;(a+b)=a+b。例6 计算下列各式。(1) (-3)4a;(2) 2(a+b)-4(a-b)。解 (1) (-3)4a=-12a;(2) 2(a+b)-4(a-b)=2a+2b-4a+4b=-2a+6b。 图 8-12例7 如图8-12,在ABC中,=,EFBC交AC于F点,试用、表示。解 如图,由三角形法则知=+。=- 又由EF
9、BC,=知,= 所以 =+=-+ 四、 向量的数量积 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s(图8-13),那么,力F所做的功W可用下式计算图8-13W=|F|S|cos其中是F与S的夹角。从力所做的功出发,我们引入向量数量积的概念。设a、b是两个非零向量,分别作有向线段、表示a、b,把射线OA与射线OB组成的不大于的角称为a与b的夹角,如图8-14所示,记=,0。图8-14显然,=当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反向。如果a与b的夹角是90,我们说a与b垂直,记作ab。定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量|a|b|cos叫做向量a与b
10、的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos并且规定,零向量与任一向量的数量积为0,即0a=a0=0。从定义可以看出,两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。例8 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角=120,求ab。解 ab=|a|b|cos=54cos120=54 =-10 根据向量数量积的定义,容易得到如下重要性质。设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1) ea=ae=|a|cos;(2) abab=0;(3 )当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|;特别地,aa=|a|2或|a
11、|=。(4) cos=;(5) ab|a|b|。已知向量a、b、c和实数,则向量的数量积满足下列运算律:(1) ab=ba(交换律);(2) (a)b=(ab) =a(b);(3) (a+b)c=ac+bc。例9 已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60,求(a+2b)(a-3b)。解 (a+2b)(a-3b)=aa-ab-6bb=|a|2-ab-6|b|2 =|a|2-|a|b|cos-6|b|2 =62-64cos60-642 =-72第三节复数的概念一、 虚数单位我们知道,方程x2=-1没有实数根。一般地,对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac|z2|。例6求复
12、数z1=2-i与z2=+i的模,并比较它们的模的大小。解|z1|= 图 8-20例7用向量表示复数:-1+i、2i、3,并分别求它们的模。解 (1) 如图8-20所示,向量 表示复数-1+i,它的模为|=|-1+i|= (2) 如图8-20所示,向量 表示复数2i,它的模为|=|2i|=2(3) 如图8-20所示,向量 表示复数3,它的模为|=|3|=3=3。第四节复数的四则运算一、 复数的加法和减法复数的加减运算按照多项式的加法和减法法则进行,也就是实部与实部相加减,虚部与虚部相加减,即设z1 =a+bi, z2=c+di,(a,b,c,dR,以下不再说明),则有(a+bi)(c+di)=(
13、ac)+(bd)i两复数的和或差仍是一个复数。容易验证,复数的加法运算满足:(1)交换律: z1+z2=z1+z2;(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。例1计算(2-3i)+(5+6i)-(-1-i)。解 (2-3i)+(5+6i)-(-1-i)=(2+5+1)+(-3+6+1)i=8+4i二、 复数的乘法与除法1.复数的乘法复数的乘法运算仍然按照多项式的乘法法则来进行,设z1=a+bi,z2=c+di,z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i复数的乘法运算与多项式的乘法运算是类似的,但必须在所得结果中把i2换成
14、-1,并且把实部、虚部分别合并。显然,两个复数的乘积仍是一个复数。容易验证,复数的乘法运算满足:(1) 交换律:z1 z2=z2z1;(2)结合律:(z1z2)z3=z1(z2 z3);(3)分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3。根据复数的乘法法则,对任何复数z=a+bi,有(a+bi)(a-bi)=a2+b2+(ab-ab)i=a2+b2 因此,互为共轭的两个复数的乘积是一个实数,并且这个实数等于这个复数模的平方,即z =|z|2=|2 此外,实数的正整数指数幂运算也能推广到复数集中,即zmzn=zm+n (zm)n=zmn (z1z2)n= (m,nN)例2计算(2-i)(3+i
15、)(-1+4i)。解 (2-i)(3+i)(-1+4i)=(7-i)(-1+4i)= -3+29i2.复数的除法例3计算(1-i)2。解 (1-i)2=1-2i+i2=1-2i-1=-2i两个复数a+bi与c+di相除(c+di0),先写成分式的形式,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数,并把结果化简,即= 例4计算(1)(1+2i)(3-4i);(2)。 解 (1) (1+2i)(3-4i)=-+i;(2) =i100=1。3.实系数一元二次方程的解法一般地,由于= i,所以在复数范围内,当实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的判别式=b2-4ac0时,有一对共复数根,即x= 例5在
16、复数范围内解方程x2-8x+17=0。解因为=b2-4ac=64-68=-4所以 x=4i第五节复数的三角形式一、 复数的三角形式 我们知道,与复数z=a+bi对应的向量 的模r叫做这个复数的模,并且r=。如图8-21所示,以x轴的正半轴为始边、向量 所在的射线(起点是O)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角。非零复数的辐角有无穷多个,它们相差2的整数倍。例如,i的辐角是2k+(kZ),辐角的单位可以用弧度或度。图8-21满足02的辐角的值,叫做辐角的主值,通常记作argz,即0argz2。例如,i的辐角主值是。设复数a+bi的模为r,辐角为,从图8-21中,我们可以看出, 于是,任何一个复
17、数z=a+bi都可以表示成r(cos+isin)的形式,其中r=,tan=(a0),所在的象限就是与复数相对应的点Z(a,b)所在的象限。我们把r(cos+isin)叫做复数z=a+bi的三角形式。为了同三角形式区别开来,a+bi叫做复数的代数形式。 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它的模与辐角的主值唯一确定。因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。 例1把下列复数表示为三角形式:(1)-i; (2)1+i; (3)-3。解 (1)因为a=-,b=-1,所以r=2tan= 又因为(-,-1)在第三象限,所以=,得-i=2 (2) 因为a=1,b=1,所以
18、r= tan=1又因为(1,1)在第一象限,所以= 得1+i= =得-3=3(cos+isin) (3) 因为a=-3,b=0,所以r=3又因为与-3对应的点在x的负半轴上,所以例2将复数表示成三角形式,并指出它的模和辐角主值。解因为= = 所以的三角形式为 它的模为,辐角主值为。例3将复数3表示成代数形式。解3=3(0-i)=-3i二、 复数的三角形式的乘法和除法1.乘法与乘方运算设复数z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cos1+isin1),z2=r2(cos2+isin2),则z1z2=r1(cos1+isin1)r2(cos2+isin2)=r1r2(cos1cos2-sin1si
19、n2)+i(sin1cos2+cos1sin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)。由此可知,两复数相乘,积的模等于两复数模的积,积的辐角等于两复数辐角的和。简单地说,两复数相乘,模相乘,辐角相加。以上结论可以推广到有限个复数相乘的情形,即z1z2z3zn=r1r2r3rncos(1+2+3+n)+isin(1+2+3+n)当z1=z2=z3=zn=z,即r1=r2=r3=rn=r,1=2=3=n=时,有zn=r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn) (nN)这就是说,复数的n次幂的模等于这个复数模的n次幂,辐角等于这个复数辐角的n倍。这就是复数的乘方法则,这个法则又称为棣莫佛定理。例4计算 83。解83 =83 =24 =24i例5计算。解利用棣莫佛定理计算,+i的三角形式为cos+isin,则= =cos+isin=-i2.除法运算设复数z1=r1(cos1+isin1),z2=r2(cos2+isin2),z20,则= = =- =cos(1-2)+isin(1-2)由此可知,两复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。简单地说,两复数相除,模相除,辐角相减。 例6 解 = =+i
