第三章 力学量的算符

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1、第三章 力学量的算符3-1 算符的引入代表对波函数进行某种运算或变换的符号代表对波函数进行某种运算或变换的符号 由于算符只是一种运算符号，所以它单独存由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：函数做相应的运算才有意义，例如： u = v 表示表示 把函数把函数 u 变成变成 v， 就是这种变就是这种变 换的算符。换的算符。1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是对函数是对函数 u 微商，微商， 故称为微商算符。故称为微商算符。2）x u =

2、v， x 也是算符。也是算符。 它对它对 u 作用作用 是使是使 u 变成变成 v。 izkyjxiiprrxx 体系状态用坐标表象中的波函数体系状态用坐标表象中的波函数 (r) (r) 描描写时，坐标写时，坐标 x x 的算符就是其的算符就是其自身自身，即，即说明力学量在说明力学量在自身表象中的算符形式最简单自身表象中的算符形式最简单。dxdipx 而动量而动量 p px x 在坐标表象（非自身表象）中的形式在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：必须改造成动量算符形式：三维情况三维情况：rdrTrTTmpTmpT)()(2222 则则所所以以动动能能算算符符在在经经典典力力

3、学学中中，角动量算符角动量算符prLprL )()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLxyzzxyyzx 三三个个分分量量：rdrLrL)()( Hamilton Hamilton 算符算符的粒子的粒子在势场中在势场中)(2)()(22rVmrVTHVTHrV 问题：问题：算符、动量算符、算符、动量算符、 Hamilton算符算符nnnFF 其中其中F Fn n, , n n 分别称为算符分别称为算符 F F的本征值和相应的本征态，的本征值和相应的本征态，上式即是算符上式即是算符F F的本征方程。求解时，的本征方程。求解时， 作为力学量作为力学量的本征态或本征函数

4、还要满足物理上对波函数的要求的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。即波函数的标准条件。3-2 3-2 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数问题：问题：本征值、本征态、本征方程本征值、本征态、本征方程（1 1）线性算符）线性算符(c11+c22)= c11+c22其中其中c1, c2是任意复常数，是任意复常数， 1, 1是任意两个波函数。是任意两个波函数。满足如下运算规律的满足如下运算规律的 算符算符 称为线性算符称为线性算符是是线线性性算算符符。单单位位算算符符动动量量算算符符Iip 例如：例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。开方算符、取复共轭就不是线性

5、算符。 注意：注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。加原理的反映。3-3 算符的运算规则 线性厄米算符（2 2）算符相等）算符相等 若两个算符若两个算符 、对体系的任何波函数对体系的任何波函数 的运算结果都相的运算结果都相 同，即同，即= ，则算符则算符 和算符和算符 相等记为相等记为 = 。（3 3）算符之和）算符之和 若两个算符若两个算符 、 对体系的任何波函数对体系的任何波函数 有：有： ( + ) = + = 则则 + = 称为算符之和。称为算符之和。算符求和满足交换率和结合率。算符求和满足交换率和结合率。之之和

6、和。势势能能算算符符和和体体系系动动能能算算符符等等于于算算符符表表明明VTHHamiltonVTH 例如：体系例如：体系Hamilton 算符算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 - - = = + + （- -）。）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（4 4）算符之积）算符之积若若 ( ) = () = 则则 = 其中其中是任意波函数。是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即一般来说算符之积不满足交换律，即 这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。（5

7、 5）对易关系）对易关系若若 ，则称则称 与与 不对易不对易。不不对对易易。例例如如：算算符符 xxipx xxxxiixpx )()1(证证：显然二者结果不相等显然二者结果不相等ixppxixppxxppxxxxxxx 所所以以是是任任意意波波函函数数，因因为为）（而而 xxxxiixixp )()2(对易对易关系关系 izppziyppyzzyy与与共共轭轭动动量量满满足足同同理理可可证证其其它它坐坐标标算算符符zyxppppixppx,0 量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系。对易关系。写成通式写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互

8、对易。对易，各动量之间相互对易。（6 6）对易括号）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号：对易括号： , - 不难证明对易括号满足如下对易关系：不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) , = - , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 上面的第四式称为上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。恒等式。 ipx ,返回返回（7 7）逆算符）逆算符1. 定义定义: 设设= , 能够唯一的解出能够唯一的解出, 则可定义则可定义算符算符之

9、逆之逆-1 为为:-1 = 并不是所有算符都存并不是所有算符都存在逆算符在逆算符, ,例如投影例如投影算符就不存在逆算符就不存在逆. .2.性质性质 I: 若算符若算符之逆之逆-1存在存在,则则 -1 = -1 = I , , -1 = 0证证: =-1=-1()=-1因为因为是任意函数是任意函数,所以所以-1=I成立成立. 同理同理,-1=I 亦成立亦成立.3.性质性质 II: 若若 , 均存在逆算符均存在逆算符, 则则 ( )-1 = -1 -1例如例如: : nnFnxxFn!)0(0)()( 设给定一函数设给定一函数 F(xF(x),),其各阶导数均存在其各阶导数均存在, ,其幂级数展

10、开收敛其幂级数展开收敛则可定义算符则可定义算符 的函数的函数 F()为为:nnFnUUFn)(!)0(0)( ninntHitHe!10 （8 8）算符函数）算符函数（9 9）复共轭算符）复共轭算符算符算符的复共轭算符的复共轭算符*就是把就是把表达式中表达式中的所有量换成复共轭的所有量换成复共轭.piip*)(* 例如例如: : 坐标表象中坐标表象中是是两两个个任任意意函函数数。和和式式中中定定义义为为：的的转转置置算算符符算算符符 *UdUdUU（1010）转置算符）转置算符()ABBA可以证明：xx ：例例*xdx证：利用波函数标准条件利用波函数标准条件: 当当|x| 时时, 0。0)(*

11、 xxdxxxxx 0)(xxpp 由于由于、是任意波是任意波函数函数, 所以所以 * xdx xdx*|*xdx 同理可证同理可证: :(11)厄密共轭算符厄密共轭算符 *)(*OdOd *)(*OdOd由此可得：由此可得：:转置算符转置算符的定义的定义*OO 厄密共轭厄密共轭算符亦可算符亦可写成：写成：算符算符 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 + 定义定义:可以证明可以证明: ( )+ = + + ( .)+ = . + + + *)(* Od * Od *Od(12) (12) 厄米算符厄米算符满足如右关系的算符满足如右关系的算符称为厄密算符称为厄密算符.OOOdOd*)(* 或或 性质性