经模概率模型

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1、主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件概率概率模型模型Email: 经济模型经济模型与与Matlab应用应用主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件概率统计回顾概率统计回顾v随机变量 与概率 v分布函数 v数字特征随机事件 A 概率 P(A)1()1iiiiPxpp()( )( )1baP abf xf x dx( )()( )( )F xPxF xf x1( )( )iiiEx pxf x dx222()( )()DEEEE主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件v离散型 二项分布 X B ( n , p ) 泊松分布v连续型 均匀分布 X U a ,

2、b 指数分布 正态分布knkknppCkXP1ekkXPk! 其它01bxaabxf 000 xxexfx常见分布22()221( ,):( )2xXNf xe 221(0,1):( )2xXNxe主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件数理统计v描述统计分析 均值 方差v参数估计v假设检验v方差分析v回归分析221111()1nniiiixxsxxnnv非参数估计v聚类分析v因子分析v相关分析v时间序列分析v主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件模型模型1 简单模型简单模型v某人掷两次, 掷了 10 点v另一人再掷两次, 比 10 点大的概率 121)61()61(

3、222p10 (5,6), (6,5) ,(6,6) 例2：谁更幸运例1：掷骰子主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件谁更幸运解:A BCDEF 4 / 5C DEF 2 / 3概率 p = (4 / 5) ( 2 / 3 ) 53 %ABCDEF主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件模型模型2 报童的诀窍报童的诀窍v报童: 100份报纸全卖获利 7 元, 买不掉退回, 陪 4 元v概率分布为:售 x (百份)012345概率 p(x)0.050.120.210.250.220.15v问: 订多少份最佳（每日）?问题一：数值运算问题一：数值运算主讲人：孙云龙主讲人：

4、孙云龙数学建模课件数学建模课件解:v设订Q , 需求xv则收益函数为v利润期望值为:v卖获利 7 元, 买不掉陪 4 元QxQQxxQxxy7)(4(7)(收入需求量购进量获利赔款510)(7)()411()(QxQxxpQxpQxxyE分布主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件v由v利润期望值:Q=0 时, E(y(x)=0Q=1 时, E(y(x)= (-40.05+70.12)+7(0.21+0.25+0.22+0.15)=6.45Q=2 时, E(y(x)=11.58Q=3 时, E(y(x)=14.4Q=4 时, E(y(x)=14.47Q=5 时, E(y(x)=12

5、.12510)(7)()411()(QxQxxpQxpQxxyEv故: 每天订 400 份, 可获利最大售 x (百份)012345概率 p(x)0.050.120.210.250.220.15v得：l01.m主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件问题二：符号运算问题二：符号运算v报纸: 进价为b ，零售价为a ，退回价为c abcv确定报童销售策略。v分析: 需求量 r购进量 n收入 G(n)随机概率 f(r)期望值 En模型建立:设 购进 n 份/天 目标: 收入最大需求量为 r (随机变量)，分布为f(r) ，收入为G(n)则nrrncbrbanrnbanG)()()()(

6、主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件v收入期望值: 平均收入vr (大) 连续 概率 f ( r ) p ( r ) 密度收入需求量购进量进价售价退回分布收入函数nrrncbrbanrnbanG)()()()(nndrrnpbadrrprncbrbanEG)()()()()()(001( )()()() ( )()( )nrr nEG nab rbc nrf rab nf r 主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件收入期望值v 最优化：极值v 令: G(n) = 0 有nndrrnpbadrrprncbrbanEG)()()()()()(0( )d EG ndn0

7、()( )() ( )()( )() ( )nnab np nbc p r drab np nab p r dr0()( )()( )nnbcp r drabp r dr 0( )( )nnp r drabbcp r dr00()( )() ( )() ( )nnnac rp r drnbc p r drnab p r dr主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件模型分析卖出一份赚 退回一份陪p(r)p1p2rn最优订报量ncbnba)(,)(0( )( )nnp r drabbcp r dr00( )1( )nabp r drp r drac10212( )( )nnpp r d

8、rpp r drpabpbc主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件问题三：统计运算问题三：统计运算v若：进价 b =0.3 ，零售价 a =0.5 ，退回价 c =0.05元 v50天的销售数据： 459, 624, 509, 433, 815, 612, 434, 640, 565, 593, 926, 164, 734, 428, 593, 527, 513, 474, 824, 862, 775, 755, 697, 628, 771, 402, 885, 292, 473, 358, 699, 555, 84, 606, 484, 447, 564, 280, 687,

9、790, 621, 531, 577, 468, 544, 764, 378, 666, 217, 310 v确定报童销售策略 主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件Matlab 统计分析统计分析v概率分布函数：概率分布+概率函数( x,a,b )pdf(x,mu,sigma)概率密度cdf(x,mu,sigma)概率分布inv(p,mu,sigma)逆概率分布 stat (mu,sigma)均值与方差rnd(mu,sigma,m,n)随机数生成1、概率分布 unif均匀分布bino二项分布poiss帕松分布norm正态分布exp指数分布tt分布chi2分布FF分布概率函数概率分

10、布statistics toolbox主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件例：v二项分布b(K:10,0.3)x=0:10 binopdf(x,10,0.3)binocdf(x,10,0.3)binoinv(0.5,10,0.3)m,s=binostat(10,0.3)binornd(10,0.3,2,5)knkppknpnkb)1 (),;(22()221( ,):( )2yxNF xedy v正态分布 N(0,1)normpdf(x,0,1)normcdf(x,0,1) norminv(0.3,0,1)m,s=normstat(0,1) normrnd(0,1,2,5)l0

11、2.m主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件2、描述统计 v数字特征v描述集中趋势、离散趋势、分布特征等mean(x)均值median(x)中位数var(x )方差std(x)标准差max(x)最大min(x)最小range(x)极差kurtosis(x)峰度skewness(x)偏度corrcoef(x)相关系数cov(x)协方差矩阵主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件例：v生成1010 个正态随机数vx=normrnd(0,10,10,10);vmean(x),median(x)vvar(x),std(x)vcorrcoef(x),cov(x)l03.m主讲人

12、：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件v进价 b =0.3 ，零售 a =0.5 ，退回 c =0.05元 v50天的销售数据： 459, 624, 509, 433, 815, 612, 434, 640, 565, 593, 926, 164, 734, 428, 593, 527, 513, 474, 824, 862, 775, 755, 697, 628, 771, 402, 885, 292, 473, 358, 699, 555, 84, 606, 484, 447, 564, 280, 687, 790, 621, 531, 577, 468, 544, 764, 37

13、8, 666, 217, 310 n0( )nabp r drac?正态分布v由最优订报时满足 求解：模型2 问题3主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件均值标准差K-S检验分位点结果：n=535 n0( )nabp r dracMatlab程序：l04.mx=459, , 310;x=x ;m=mean(x)s=std(x) h,p=kstest(x,x,normcdf(x,m,s)norminv(0.5-0.3)/(0.5-0.05),m,s)主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件模型模型3 轧钢中的浪费轧钢中的浪费v轧制钢材两道工序粗轧(热轧)：胚料精轧(冷轧

14、)：钢材粗轧钢材长度正态分布均值可调整方差可确定切掉多余部分胚料与钢材长度需求可能不同整根报废随机因素影响精轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小大于小于主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件分析分析PPm,存在最佳的m使总的浪费最小lPPPm,0p(概率密度)mxPmPP主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件模型建立模型建立v目标函数：浪费lldxxxpdxxplxW)()()(ldxxlpdxxxp)()(lPm切掉多余部分整根报废切掉)(lxPP报废)(lxPP均值规定长切掉概率v钢材：规定长度 lv粗轧：胚料长度均值 方差可调整2(,)xN mv浪费概

15、率主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件目标函数：浪费？v一根钢胚平均浪费长度mlP钢胚？v一根钢材平均浪费长度粗轧N根得成品材 PN根lPmPNlPNmNmin ( )( )mJ mP m222)(21)(,)()(mxlexpdxxpmPv于是得优化模型目标其中决策变量m（ l ,已知）主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件求解求解v求极小值2()()()dJP mmP mdmPm0dJdm求m?v模型 )()(mPmmJ()( )lP mp x dx22()21( )2x mp xe2221( )2zl mP medz2221( )2l mP me难主讲人：孙

16、云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件v目标 函数 软件求解软件求解)()(mPmmJ()( )lP mp x dx22()21( )2x mp xejm.mv画图 l05.mv例例设设l=2(米米), =20(厘米厘米)，求，求 m 使浪费最小。使浪费最小。l=2,sigma=0.20for i=1:100 m=1.5+i*0.02; %0,1 m1(i)=m; f(i)=jm(l,m,sigma);endplot(m1,f,r)function f=jm(l,m,sigma)f=m/(1-normcdf(l,m,sigma)+eps)主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件v定步长搜索最优解：最优解2.3562软件求解软件求解3l06.mL=2,sigma=0.20,m0=L/2;m1=jm(L,m0,sigma);for m=1:0.0001:4 if m1jm(L,m,sigma) m1=jm(L,m,sigma); m0=m; endendm0主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件主讲人：孙云龙主讲人：孙云龙数学建模课件数学建模课件