异方差性的概念、类型、后果、检验及其修正方法(含案例)

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1、 在教材在教材P29-32和和P64-65，分别，分别对一元和多元线性回归模型对一元和多元线性回归模型提出了若干提出了若干基本假设基本假设，只有在满足这些基本假设的情况下，只有在满足这些基本假设的情况下，应用普通最小二乘法才能得到无偏的、有效的参数估计量。应用普通最小二乘法才能得到无偏的、有效的参数估计量。 但是，在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本假但是，在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本假设的情况并不多见。设的情况并不多见。 如果违背了某一项基本假设，那么应用普通最小二乘法估如果违背了某一项基本假设，那么应用普通最小二乘法估计模型所得参数估计量就可能不具有某些优良特性，这就需

2、计模型所得参数估计量就可能不具有某些优良特性，这就需要发展新的方法估计模型。要发展新的方法估计模型。 本章正是要讨论本章正是要讨论违背了某一项基本假设违背了某一项基本假设的问题及其估计方的问题及其估计方法法。引引 言言异方差性异方差性HeteroscedasticityHeteroscedasticity一、异方差性的概念及类型一、异方差性的概念及类型二、异方差性的后果二、异方差性的后果三、异方差性的检验三、异方差性的检验四、异方差的修正四、异方差的修正五、案例五、案例1.1.什么是异方差？什么是异方差？对于模型 （i=1,2,n） 同方差性假设同方差性假设为 Vari()2（i=1,2,n）

3、 如果出现 Varii()2（i=1,2,n） 即对于不同的样本点i ，随机误差项的方差不再是常数，则认为出现了异方差性异方差性。 注意：对于每一个样本点对于每一个样本点i，随机误差项，随机误差项 i都是随机变量，服都是随机变量，服从均值为从均值为0的正态分布；而方差的正态分布；而方差 i2衡量的是随机误差项围绕其衡量的是随机误差项围绕其均值均值0的分散程度。的分散程度。所以，所以，所谓异方差性，是指这些服从正态所谓异方差性，是指这些服从正态分布的随机变量围绕其均值分布的随机变量围绕其均值0的分散程度不同。的分散程度不同。 一、异方差性的概念及类型一、异方差性的概念及类型iikkiiiXXXY

4、22110异方差性示意图异方差性示意图XY概率密度或者，也可以说，对于每一个样本点对于每一个样本点i，随机误差项，随机误差项的的方差方差 i2衡衡量的是被解释变量的观测值量的是被解释变量的观测值Yi围绕回归线围绕回归线E(Yi)= 0+ 1Xi1+ kXik的分散程度。的分散程度。而而所谓异方差性，是指被解释变量观测值的分散所谓异方差性，是指被解释变量观测值的分散程度随样本点的不同而不同。程度随样本点的不同而不同。 【庞皓庞皓P130】2.2.异方差的类型异方差的类型 同方差性同方差性假定是指，每个i围绕其0均值的方差并不随解释变量Xi的变化而变化，不论解释变量的观测值是大还是小，每个i的方差

5、保持相同，即 i2 =常数 （i=1,2,n） 在异方差异方差的情况下，i2已不是常数，它随Xi的变化而变化，即 i2 =f(Xi) （i=1,2,n） 异方差一般可以归结为三种类型异方差一般可以归结为三种类型：（1）单调递增型： i2=f(Xi)随Xi的增大而增大；（2）单调递减型： i2=f(Xi )随Xi的增大而减小；（3）复杂型： i2=f(Xi )随Xi的变化呈复杂形式。3.3.实际经济问题中的异方差性实际经济问题中的异方差性 在该模型中，在该模型中， i的同方差假定往往不符合实际情况。对高收的同方差假定往往不符合实际情况。对高收入家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律

6、入家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。 因此，因此， i的方差往往随的方差往往随Xi的增加而增加，呈的增加而增加，呈单调递增型单调递增型变化变化。例例4.1.1： 在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i Yi和Xi分别为第i个家庭的储蓄额和可支配收入。 一般情况下：居民收入服从正态分布，处于中等收入组中一般情况下：居民收入服从正态分布，处于中等收入组中的人数最多，处于两端收入组中的人数最少。而人数多的组的人数最多，处于两端收入组中的人数最少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平

7、均数的误差大。所以样本观平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观测值的测值的观测误差随着解释变量观测值的增大而观测误差随着解释变量观测值的增大而先减后增先减后增。 例例4.1.2：以绝对收入假设为理论假设、以分组数据（将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值）作样本建立居民消费函数： Ci= 0+1Yi+i 如果样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那如果样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那么对于不同的样本点，随机误差项的方差随着解释变量观测值么对于不同的样本点，随机误差项的方差随着解释变量观测值的增大而的增大而先减后增（先减后增（U形）形），出现了

8、异方差性。，出现了异方差性。例例4.1.3：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术等投入要素为解释变量，那么每个企业所处的外部环境每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。 由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，为的变化而呈规律性变化，为复杂型复杂型的一种。的一种。规

9、规 律律 一般经验告诉人们：对于采用截面数据作样本的计量经济学问题，由于在不同样本点（即不同空间）上解释变量以外的其他因素的差异较大，所以往往存在异方差性。1.1.参数估计量非有效参数估计量非有效 当计量经济学模型出现异方差性时，其普通最小二乘法参数估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性不具有有效性。而且，在大样在大样本情况下，本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有效性。仍然不具有渐近有效性。 即同方差和无序列相关条件。因为在有效性证明（见教材（见教材P70-71）中利用了E() 2I jiCovniVarjii, 0),(, 2 , 1,)(2二、异方差性的后果二、异方差性的后果2.2.变量的显

10、著性检验失去意义变量的显著性检验失去意义在变量的显著性检验中，t统计量 （j=0,1,2,k） 包含有随机误差项共同的方差2。 如果出现了异方差性，而仍按同方差时的公式计算如果出现了异方差性，而仍按同方差时的公式计算t t统计量，将使统计量，将使t t统计量失真统计量失真【偏大或偏小偏大或偏小，见第三版，见第三版P110补补充说明充说明】，从而使，从而使t t检验失效检验失效【使某些原本显著的解释变量使某些原本显著的解释变量可能无法通过显著性检验可能无法通过显著性检验，或者，或者使某些原本不显著的解释变量使某些原本不显著的解释变量可能通过显著性检验可能通过显著性检验】。 122)()(jjjj

11、jjjjjjjXXcSet3.3.模型的预测失效模型的预测失效0102)(100XXXXYYSE 一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质； 另一方面， 在预测值的置信区间中也包含有随机误差项共同的方差2。 所以，当模型出现异方差性时，Y预测区间的建立将发生困难，它的预测功能失效。 其中【书上这句话有点问题】1.1.检验方法的共同思路检验方法的共同思路 既然既然异方差性异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差，那么：随机误差项具有不同的方差，那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解检验异方差性，也就是检验随机误差项的