方差__随机变量的数字特征
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1、2 方差方差引言引言l随机变量的数学期望体现了随机变量所有可能取值的加权随机变量的数学期望体现了随机变量所有可能取值的加权平均平均离散型：离散型：连续型：连续型： 若级数若级数 绝对收敛绝对收敛，则，则1kkkx p 1()kkkE Xx p 若积分若积分 绝对收敛绝对收敛，则，则( )xf x dx ()( )E Xxf x dx 32 2 方差方差设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时平均寿命为1000小时；问题：哪批灯泡的质量更好？ 一、方差的定义一、方差的定义 方差的算术平方根方差的
2、算术平方根 称为标准差或均方差，称为标准差或均方差，记为记为(X).)(XD 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)2存在，存在，则定义则定义X的方差为的方差为D(X)=EX-E(X)2 (1) 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .若若X的取值集中，则方差的取值集中，则方差若若X的取值分散，则方差的取值分散，则方差若方差若方差D(X)=0，则，则X 以概率以概率1取常数值取常数值 .注注5对于离散型随机变量X，() 1,2,kkP Xxpk其分布律为：21()()kkkD XxE Xp( ),f x其概率密度为
3、2 ()()D XEXE X事实上，2()()( )D XxE Xf x dx22()() ()D XE XE X222() ()E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22() ()E XE X对于连续型连续型随机变量X，此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式： 例1：设随机变量X具有数学期望()E X*()0()1E XD XXX证明：，称为 的标准化变量2*()0XD XX方差，记7 例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为： 解：(0)1(1)()P XpP XpD X 。，求()E X0 (1) 1pp p2()E X220(1) 1ppp
4、()D X所以 22() ()E XE X2pp(1)pp 例3： 解： () 0,1,2, 0!keXP Xkkk的分布律为：()E X由上节例5已算得2 ()E X而(1)()E X XE X(1)E X XX222(2)!kkek0(1)!kkek kk22e e( )()XD X 。设，求 9 例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：1 0( ) 0(),()0 0 xexf xE XD Xx。，求()( )E Xxf x dx解：01xxedx00|xxxeedx 22()( )E Xx f x dx201xxedx2200|22xxx exedx22()() ()D XE X
5、E X于是 2222三、方差的性质三、方差的性质 1. 设设C是常数是常数,则则D(C)=0; 2. 若若C是常数是常数,则则D(CX)=C2 D(X); 3. 若若X1与与X2 独立，则独立，则 D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);niiniiXDXD11)(推广：若推广：若X1,X2,Xn相互相互独立独立,则则niiiniiiXDCXCD121)(P125 例例6-例例811 例6：( , )(),()Xb n pE XD X。设，求1 1,2,0 kAkXknAk在第 次试验发生在第 次试验不发生Xkpk011-ppXnAp。解：随机变量 是 重伯努利试验中事件 发生的次数，设P
6、(A)= 引入随机变量：12,0 1nXXX于是相互独立，服从同一分布： 例7：2( ,)(),()XNE XD X 。设，求012121222222220111122(,) 1,2, ,(,)nnnnnniiinCC XC XC XN CXNinCCCCCCCC若且它们相互则它们的线性组合独立是不全：为0的常数 (1,3)(2,4),23XNYNX YZXY如:，且相互独立，则n独立的 个正态变量的线性组合仍服从正态分布：例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。2(22.40,0.03 ),XN2(22.50,0.0
7、4 ),YN 2()()D XPXE X 切比雪夫不等式定理定理（切比雪夫不等式）（切比雪夫不等式）：设随机变量设随机变量 X 具有期望和方差，具有期望和方差，E(X) = ， D(X) = 2则对于任意正数则对于任意正数 ，都有，都有3、定理证明： （只证 X是连续型）22222)()(1DXdxxfx 。2 方差第四章 随机变量的数字特征)Chebyshev(不等式定理：（切比晓夫不等式）设随机变量X有数学期望 , 对任意 0, 不等式 成立，或2,DXEX方差22/|XP22/1|XP返回主目录|22)(|xdxxfx|)(|xdxxfXP这个不等式给出了随机变量 X 的分布未知情况下，
