结构力学十三讲(矩阵位移法)

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1、2 一、矩阵位移法的基本思路一、矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法的两个基本步骤是矩阵位移法的两个基本步骤是 （1 1）结构的离散化；（）结构的离散化；（2 2）单元分析；（）单元分析；（3 3）整体分析，）整体分析，任务任务意义意义单元单元分析分析建立杆端力与杆端位移建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单间的刚度方程，形成单元刚度矩阵元刚度矩阵用矩阵形式表示杆用矩阵形式表示杆件的转角位移方程件的转角位移方程整体整体分析分析由变形条件和平衡条件由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整间的刚度方程，形成整体刚度矩阵体刚度矩阵用矩阵形式表示位用矩阵形式表示位

2、移法基本方程移法基本方程3指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，杆件两端各有三个位移分量， 符号规则：符号规则：图图(a)(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的x座标与杆轴重合；座标与杆轴重合；1 12 2eE A Ilxy(a)(a)图图(b)(b)表示的杆端位移均为正方向。表示的杆端位移均为正方向。单元编号单元编号杆端编号杆端编号局部座标局部座标1 12 21u1v122u2v(b)(b)杆端位移编号杆端位移编号1 12 21X1Y1M2M2X

3、2Y杆端力编号杆端力编号(c)(c)二、杆端位移、杆端力的正负号规定二、杆端位移、杆端力的正负号规定一般单元：一般单元：4 kFeee局部坐标系中的单元刚度方程局部坐标系中的单元刚度方程EA l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l3 12EI l34EI l2EI le ke=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI l206EI l20-EA l-6EI l2-6EI l2 EA l-12EI l3 12EI l32EI l4EI l000000-6EI l206EI l2011u11v1112u12v12只与杆件本身性质有只与杆

4、件本身性质有关而与外荷载无关关而与外荷载无关局部座标系的单元刚度矩阵局部座标系的单元刚度矩阵513-3 13-3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵( (整体座标系整体座标系) )xye1X1Y1M2XxyX1Y11MX2Y22M2M2221112221111000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosMYXMYXMYXMYXeee FTF ee座标转换矩阵座标转换矩阵一、单元座标转换矩阵一、单元座标转换矩阵正交矩阵正交矩阵T-1 =TT FTFTee Tee TT6三、单元刚度矩阵的性质三、单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义）单元刚度系

5、数的意义ijke代表单元杆端第代表单元杆端第j个位移分量等于个位移分量等于1时所引起的第时所引起的第i个杆端力分量。个杆端力分量。（2）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵 是对称矩阵，是对称矩阵， ke即即jiijkk 。（3）一般单元的刚度矩阵）一般单元的刚度矩阵 是奇异矩阵；是奇异矩阵； ke因此它的逆矩阵不存在因此它的逆矩阵不存在从力学上的理解是，根据单元刚度方程从力学上的理解是，根据单元刚度方程 kFeee Fee由由有一组力的解答有一组力的解答(唯一的唯一的)，即正问题。，即正问题。 Fee由由如果如果 Fe 不是一组平衡力系则无解；若是一不是一组平衡力系则无解；若是一组平衡力系，则解答不是

6、唯一的，即反问题。组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。k = TT keTe二、整体座标系中的单元刚度矩阵二、整体座标系中的单元刚度矩阵713-4 13-4 连续梁的连续梁的整体刚度矩阵整体刚度矩阵按传统的位移法按传统的位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每个结点位每个结点位移对移对F的单的单独贡献独贡献F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2 123=F=K 根据每个结点位移根据每个结点位移对附加约束上的约束对附加约束上的约束力力F的贡献大小进的贡献大小进行叠加而计算所得。行叠加

7、而计算所得。传统位移法传统位移法8一、一、 单元集成法的力学模型和基本概念单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑每个单元对分别考虑每个单元对F的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成i1i212123F3F1= F11F211TF11F21F31令令 i2 =0，则则F31=0k =4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231K F =1K =14i12i14i12i100000单元单元 1 的贡献矩阵的贡献矩阵单元单元 1 对结点力对结点力F的贡献的贡献略去其

8、它单元的贡献。略去其它单元的贡献。9i1i212123F12F22F32k =4i22i24i22i22F12F22F32=4i12i14i12i1000001232K F =2设 i1 =0，则F12=0K =24i12i14i12i100000单元单元 的贡献矩阵的贡献矩阵F3F2= F12F222T单元单元对结点力对结点力F的贡献的贡献略去单元略去单元的贡献。的贡献。101K F =1K =14i12i14i12i1000002K F =2K =24i12i14i12i100000i1i2121212K=（K +K ）=12Keek K K eeF=F +F =（K +K ）12F=K整

9、体刚度矩阵为：整体刚度矩阵为：单元集成法求整单元集成法求整体刚度矩阵步骤：体刚度矩阵步骤：根据单元根据单元和单元和单元分别对结点力分别对结点力 F 的贡献，可得整体刚度方程：的贡献，可得整体刚度方程：11k K K ee12k =4i12i14i12i11K =14i12i14i12i100000k =4i22i24i22i22K =24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2K=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2整体刚度矩阵整体刚度矩阵: :12二、按照单元定位向量由二、按照单元定位向量由k 求求 eKe(