计算机组成原理第4章 浮点数运算方法

《计算机组成原理第4章 浮点数运算方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算机组成原理第4章 浮点数运算方法（68页珍藏版）》请在文档大全上搜索。

1、第4章 浮点运算规则浮点加减运算浮点乘除法运算浮点数的表示n机器中任何一个浮点数可写成：nMx为浮点数的尾数，一般为绝对值小于1的规格化数(补码表示时允许为-1)，机器中可用原码或补码表示。nEx为浮点数的阶码，一般为整数，机器中大多用补码或移码表示。nR为浮点数的基数，常用2、8 、10或16表示。以下以基数为2进行讨论。 310123.0123XxERxMX类似于浮点加减运算n设两个浮点数 尾数的加减运算规则与定点数完全相同。当两浮点数阶码不等时，因两尾数小数点的实际位置不一样，尾数部分无法直接进行加减运算。如：x=0.123103 y=4.56102 = 0.456103xExRMxyE

2、yRMy浮点加减运算的步骤1.对阶，使两数的小数点位置对齐。2.尾数求和，将对阶后的两尾数按定点加减运算规则求和(差)。3.规格化，为增加有效数字的位数，提高运算精度，必须将求和(差)后的尾数规格化。4.舍入，为提高精度，要考虑尾数右移时丢失的数值位。5.判断结果 ，即判断结果是否溢出 1. 对阶n这一步操作是将两个加数的小数点对齐。n小阶向大阶看齐，阶码较小的数，其尾数向右移，每右移一位，阶码加“1”，直到两数阶码相同为止。n尾数右移时可能会发生数码丢失，影响精度。n例：两浮点数例：两浮点数 x = 0.1101x = 0.11012 20101， y = -(0.1010)y = -(0.

3、1010)2 21111，求，求x+yx+y。（1）首先写出x、y在计算机中的补码表示。x补=00,01;00.1101，y补=00,11;11.0110 阶码EX 尾数Mx Ey My（2）在进行加法前，必须先对阶，故先求阶差：E补=Ex补-Ey补=Ex补+-Ey补 = 00,01+11,01=11,10 即E=-2，表示x的阶码比y的阶码小，再按小阶向大阶看齐的原则，将x的尾数右移两位，其阶码加2。得x补=00,11;00.0011(01)此时，E=0，表示对阶完毕。2. 尾数求和n将对阶后的两个尾数按定点加(减)运算规则进行运算。n注意：并不考虑溢出溢出由阶码决定 接上例，两数对阶后得：

4、x补=00,11;00.0011(01)y补=00,11;11.0110 则Mx+My补=00.0011+11.0110=11.1001(01)即x+y补=00,11;11.1001(01)3. 规格化n如果采用双符号位的补码，则当M0时，其补码规格化形式为 M补=00.1 当M0时，其补码规格化形式为 M补=11.0 n但对M0时，有两种情况需特殊处理。M=-1/2，则M补=11.1000。对于补码而言，它不满足于上面的规格化表示式。为了便于硬件判断，特规定-1/2是规格化的数(对补码而言)。M=-1，则M补=11.0000。因小数补码允许表示-1，故-1视为规格化的数。 n规格化又分左规和

5、右规两种。左规。当尾数出现00.0或11.1时，需左规。左规时尾数左移一位，阶码减1，直到符合补码规格化表示式为止。右规。当尾数出现01.或10.时，表示尾数溢出，这在定点加减运算中是不允许的，但在浮点运算中这不算溢出，可通过右规处理。右规时尾数右移一位，阶码加1。 接上例，求和结果为x+y补=00,11;11.1001(01) 尾数的第一数值位与符号位相同，需左规，即将其左移一位，同时阶码减1，得x+y补=00,10;(1)11.0010(1)。4. 舍入n在对阶和右规的过程中，可能会将尾数的低位丢失，引起误差，影响精度，为此可用舍入法来提高尾数的精度。 n进行舍入时应满足两个要求n首先，对

6、每一次运算的结果而言，要保证误差不超过给定的范围。比如，设机器尾数长39位，要求每次运算误差不超过末位（即第39位）的“1”，即小于 2-39。n其次在大量的运算过程中要保证误差的平衡，即在每一次运算时，由于舍入处理，可能使运算结果增大了，也可能减少了。但总的说来，增加和减少的机会必需是均等的，否则会产生很大的积累误差。4. 舍入常用的舍入方法n“0舍1入”法：“0舍1入”法类似于十进制运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1。这样做可能使尾数又溢出，此时需再做一次右规。n特点：最大误差是最低位上的-1/2到接近于1/2

7、之间，正误差可以和负误差抵消。属于比较理想的方法，但实现起来比较复杂。 如上例： x+y补=00,10;(1)11.0010(1) = 00,10;11.0011n“恒置1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”或“0”，都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。n特点：误差范围扩大，但正负误差可以相互抵消，实现相对容易。5. 溢出判断n在浮点规格化中已指出，当尾数之和(差)出现01.或10.时，并不表示溢出，只有将此数右规后，再根据阶码来判断浮点运算结果是否溢出。n若机器数为补码，尾数为规格化形式，并假设阶符取2位，阶码取7位，数符取2位，尾数取n位，则

8、它们能表示的补码在数轴上的表示范围如下图。 A最小负数最小负数 2+127(-1)B最大正数最大正数 2+127(1-2-n)a最大负数最大负数 2-128(-2-1-2-n)b最小正数最小正数 2-1282-1 n浮点机的溢出与否可由阶码的符号决定。即阶码E补=01，为上溢。阶码E补=10，为下溢，按机器零处理。当阶符为“01”时，需做溢出处理。n下溢时，浮点数值趋于零，故机器不做溢出处理，仅把它作为机器零。n上溢时才是浮点数真正溢出，机器需停止运算，作溢出中断处理。n一般所说的浮点溢出，均是指上溢。n例：设x=2-101(-0.101000),y=2-100(+0.111011)，并假设阶

9、符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取6位，求x-y。 n解：由x=2-101(-0.101000)，y=2-100(+0.111011) 得x补=11,011;11.011000，y补=11,100;00.111011对阶 E补=Ex补-Ey补=11,011+00,100=11,111 即E=-1,则x的尾数向右移一位，阶码相应加1，即 x补=11,100;11.101100求和Mx补-My补=Ex补+-Ey补 =11.101100+11.000101 =10.110001 即 x-y补=11,100;10.110001 尾数符号位出现“10”，需右规。n（续） ：即 x-y补=11,10

10、0;10.110001， 尾数符号位出现“10”，需右规。 规格化 右规后得 x-y补=11,101;(1)1.011000(1)舍入处理 采用0舍1入法，其尾数右规时末位丢1，则 x-y补=11,101;11.011001溢出判断 经舍入处理后阶符为“11”，不溢出，故最终结果： x-y= 2-011(-0.100111)浮点数加减运算流程图 浮点加减法运算1.大型计算机和高档微型机中，浮点加减法运算是由硬件完成的。低档的微型机浮点加减法运算是由软件完成的，但无论用硬件实现或由软件实现加减法运算，基本原理是一致的。2.浮点加减法运算要经过对阶、尾数求和、规格化、舍入和溢出判断五步操作。其中尾

11、数运算与定点加减法运算相同，而对阶、舍入、规格化和溢出判断，则是浮点加减法与定点加减法运算不同的操作。3.在补码浮点运算中，阶码与尾数可以都用补码表示。在硬件实现的运算中，阶符和数符常常采取双符号位，正数数符用00表示，负数数符用11表示。浮点乘除法运算n设两浮点数 n则 1.阶码运算2.尾数运算xjxrSx yjyrSy yxyxjjyxjjyxrSSyxrSSyx )(1. 阶码运算n若阶码用补码运算，乘积的阶码为jx补+jy补，商的阶码为jx补-jy补。n若阶码用移码运算，则 jx移=2n+ jx -2njx2n (n为整数的位数) jy移=2n+ jy -2njy2n (n为整数的位数