第五章 偏微分方程与特殊函数

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1、化工应用数学 第五章 2022-6-115.1 引言引言n5.1.1 偏微分方程的定义偏微分方程的定义n描述物理量在时、空域中变化规律的方程，描述物理量在时、空域中变化规律的方程，若含有未知若含有未知函数的偏导数，则称之为偏微分方程。函数的偏导数，则称之为偏微分方程。第五章第五章 偏微分方程与特殊函数偏微分方程与特殊函数化工应用数学 第五章 2022-6-125.1.2 偏微分方程的规定偏微分方程的规定（1）方程中出现的偏导数的）方程中出现的偏导数的最高阶数最高阶数称为称为方程的阶数方程的阶数。（2）若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项称方程为）若方程中没有未知函数及其偏导数的乘

2、积或幂等非线性项称方程为线性的，反之统称成为非线性的。线性的，反之统称成为非线性的。 在非线性方程中若仅对未知函数的所有最高阶偏导不是非线性的在非线性方程中若仅对未知函数的所有最高阶偏导不是非线性的拟线性的。拟线性的。（3）不含未知函数及其偏导数的项称之为自由项。自由项为零的方程称）不含未知函数及其偏导数的项称之为自由项。自由项为零的方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。为齐次方程，否则称为非齐次方程。第五章第五章 偏微分方程与特殊函数偏微分方程与特殊函数化工应用数学 第五章 2022-6-13例5.1.2 偏微分方程的规定偏微分方程的规定化工应用数学 第五章 2022-6-14一般来说，求解

3、一般来说，求解n阶线性常微分方程的通解，必阶线性常微分方程的通解，必定包含有定包含有n个独立的任意函数，若存在个独立的任意函数，若存在n个边界条个边界条件，则可确定这件，则可确定这n个常数，从而获得该方程满足边个常数，从而获得该方程满足边界条件的一个特定解。在偏微分方程中，通解具界条件的一个特定解。在偏微分方程中，通解具有特定形式的任意函数，且看以下例题。有特定形式的任意函数，且看以下例题。(1) 偏微分方程的定解问题偏微分方程的定解问题5.1.2 偏微分方程的规定偏微分方程的规定化工应用数学 第五章 2022-6-15 (2) 偏微分方程偏微分方程 是方程的通解是方程的通解 ，其中，其中f

4、是任意函数是任意函数 。如如 等都是该方程的特解。等都是该方程的特解。 这些不同的函数，这些不同的函数，都满足二维拉普拉斯方程都满足二维拉普拉斯方程 2222()sin()uxyuxy，=-=-22224cos()uxyxy=-+-0 xyyuxu+=22()zf xy=-2222,cos ,ln()xuxyuey uxy=-=+cos,sinttuexuex-= 都可作为一维热传导方程都可作为一维热传导方程而函数而函数的通解。的通解。化工应用数学 第五章 2022-6-16 由此可以得出两点结论：由此可以得出两点结论： 偏微分方程的通解包含有任意函数，因此解偏微分偏微分方程的通解包含有任意函

5、数，因此解偏微分方程，一般都不是先求通解，后由定解条件确定特方程，一般都不是先求通解，后由定解条件确定特解，而是直接求特解。解，而是直接求特解。 一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象的共性规律，可以有很多不同形式的特解。所以可的共性规律，可以有很多不同形式的特解。所以可称为称为“泛定方程泛定方程”。5.1.2 偏微分方程的规定偏微分方程的规定化工应用数学 第五章 2022-6-17 确定地描述某个系统的运动过程，除了反映确定地描述某个系统的运动过程，除了反映运动一般规律的偏微分方程（泛定方程）外，还必运动一般规律的偏微分方程（泛定方程）外，还

6、必须根据实际问题的模型提出定解条件。定解条件包须根据实际问题的模型提出定解条件。定解条件包括初始条件（当方程含有时间变量时）和边界条件括初始条件（当方程含有时间变量时）和边界条件（关于空间变量的约束条件）。（关于空间变量的约束条件）。 泛定方程加定解条件构成一个确定的物理过泛定方程加定解条件构成一个确定的物理过程的程的“定解问题定解问题”，此时问题才可能有确定的特解。，此时问题才可能有确定的特解。5.1.2 偏微分方程的规定偏微分方程的规定化工应用数学 第五章 2022-6-18(3) 偏微分方程的求解方法偏微分方程的求解方法1、方程的建立、方程的建立 建模。建模。2、求解、求解 （1）解析解

7、：）解析解： 分离变量法分离变量法； 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法等。等。 （2）数值解：尤拉法、龙格库塔法等。）数值解：尤拉法、龙格库塔法等。5.1.2 偏微分方程的规定偏微分方程的规定化工应用数学 第五章 2022-6-195.2 二阶偏微分方程分类二阶偏微分方程分类限两个自变量的二阶线性方程，未知函数限两个自变量的二阶线性方程，未知函数 u（x，y）一般形式：一般形式： F（x，y，u， ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0 (5-4)线性形式：线性形式： Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0 (5-5）A，B，C，D，E，f，G是是x，y的函数的函数 当当A

8、，B，C，D，E，G是常数时，式（是常数时，式（55）是二阶常系）是二阶常系数线性偏微分方程，数线性偏微分方程，ff（x，y）为已知函数是自由项。为已知函数是自由项。化工应用数学 第五章 2022-6-110由参数由参数A，B，C判断二阶线性方程的分类判断二阶线性方程的分类设设M=M（x，y）为自变量域内的某一点，若在该点处有：为自变量域内的某一点，若在该点处有：(1) B2AC0，则方程在该点处为双曲线型的，如：，则方程在该点处为双曲线型的，如： uxxuyy0 （56）(2) B2AC0，则方程在该点处为抛物线型，如：，则方程在该点处为抛物线型，如：uyuxx0 （57）(3) B2AC0

9、，则方程在该点处为椭圆型的，如：，则方程在该点处为椭圆型的，如：uxxuyy0 （58）化工应用数学 第五章 2022-6-111方程的类型在域内不一定是唯一的。如：方程的类型在域内不一定是唯一的。如： xuxxyuyy2yuxxuy0B2-AC0 xy， xy0， M在二，四象限双曲型在二，四象限双曲型 xy0， M在一，三象限椭圆型在一，三象限椭圆型 xy0(x或或y0)， M在在y或者或者x轴上轴上 抛物型抛物型三类方程：（最典型的物理含义）三类方程：（最典型的物理含义）双曲线型：双曲线型：utta2（uxxuyyuzz） 波动方程波动方程抛物线型：抛物线型：uta2（uxxuyyuzz

10、） 热传导方程热传导方程椭圆型：椭圆型：uxxuyyuzz0 拉普拉斯方程拉普拉斯方程化工应用数学 第五章 2022-6-1125.3 典型方程的建立典型方程的建立PzyQRxx,( , , )P Q Rx y z是的函数, u v若令（)=0是原方程的解12( , , ),( , , )u x y zCv x y zCuv ， 是两组相互独立的解(dxdydzpQR建立常微分方程组）5.3.1. 拉格朗日方法拉格朗日方法（一阶）（一阶）（将偏微分方程转化为常微分方程将偏微分方程转化为常微分方程）化工应用数学 第五章 2022-6-113例例 124( ,0)2xzzZZxtZ xe求出 的解

11、5.3 典型方程的建立典型方程的建立14dxdtdzz解：采用拉格朗日法解：采用拉格朗日法1244=xdxdtutxCdzzdxvCze 联立任意两个方程联立任意两个方程(4 ,)0 xztxe化工应用数学 第五章 2022-6-114v=u令（ ）(4 )xztxe原方程的通解2,0)2xZ xe由于（ 32244=(4 ),22(4 )=,( )u =2xuuxuxZexeexueee，3(4)42.xtxZee5.3 典型方程的建立典型方程的建立212211CzvxxC V=u221()zxyxy22() ()Zx yxy化工应用数学 第五章 2022-6-1151zzyXzxx =1d