初等多值函数

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1、第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念与柯西与柯西黎曼条件黎曼条件1.1 复变函数的导数与微分1.2 解析函数及其简单性质1.3 柯西柯西黎曼条件黎曼条件1.4 小结与思考 21.1 复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分1.导数的定义导数的定义:00 ( ) , , wf zD zDzz D 设设 函函 数数定定 义义 于于 区区 域域为为 中中 的的 一一点点, )( . )( 00的导数的导数在在这个极限值称为这个极限值称为可导可导在在那末就称那末就称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 记作记作000()( ) lim zf zzf zz 如如

2、果果极极限限存存在在且且有有限限定义定义2.13在定义中应注意在定义中应注意:.)0(00的的方方式式是是任任意意的的即即 zzzz.)()(,0000都都趋趋于于同同一一个个数数比比值值时时内内以以任任意意方方式式趋趋于于在在区区域域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 可导可导在区域内在区域内就称就称我们我们内处处可导内处处可导在区域在区域如果函数如果函数DzfDzf4例例1 .)(2的导数的导数求求zzf 0()( ) limzf zzf zzCz 解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 2( ).f zzz 在在 平平面面上上处处处处可可导导

3、52.可导与连续的关系可导与连续的关系: 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续, 但但函数函数 f(z) 在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证 , 0可导的定义可导的定义根据在根据在 z, 0, 0 , |0 时时使得当使得当 z,)()()( 000 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令6, 0)(lim 0 zz 则则 )()( 00zfzzf 因为因为 , )()(lim 000zfzzfz 所以所以 . )(0连续连续在在即即zzf证毕证毕 ,)( )(0zzzzf ( ) f

4、zzz 在在 平平面面上上处处处处连连续续但但却却处处处处不不可可导导例例2 解解 (1) f(z)= z的连续性显然的连续性显然 1 0,0(2) =10,0zxi yxxyfzzzzxi yzzzxyi y 1(0,0)fxyz 1(0,0)fxyz ( ) f zzz 处处处处处处处处不不可可在在 平平面面上上但但却却导导连连续续( ) f zzz 在在 平平面面上上处处处处不不可可导导7例例3 .Im)(的可导性的可导性讨论讨论zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(时时而而使使向向当当点点

5、沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方 zy8zzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0)0(时时而而使使向向当当点点沿沿平平行行于于虚虚轴轴的的方方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0极极限限值值不不同同时时当当点点沿沿不不同同的的方方向向使使 z.Im)(在复平面上处处不可导在复平面上处处不可导故故zzf 9例例4 是否可导？是否可导？问问yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着

6、平行于沿着平行于设设zxzz xyoz0 y10 xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.2)(yixzf 113.求导法则求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广实

7、变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来到复变函数中来, 且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则: . , 0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn 12 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的

8、单值是是与与其中其中134.微分的概念微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致.)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 记作记作的微分的微分在点在点称为函数称为函数定定义义0000( ),()()()()wf zzwf zzf zfzzzz 设设函函数数在在可可导导 则则0lim()0,(), zzzzz 是是0 0时时的的高高阶阶无无穷穷小小0() ( ) .fzzwf zw 是是函函数数的的改改变变量量的的线线性性部部分分+ 0000()( )( )lim.zf zzf zwf zzz .

9、 )( , 00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在如果函数在如果函数在zzfz14特别地特别地, , )( 时时当当zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)( ,)(内内可可微微区区域域在在则则称称内内处处处处可可微微区区域域在在如如果果函函数数DzfDzf151. 解析函数的定义解析函数的定义 000Analys( ) , is( ) .f zzzf zz如如果果函函数数在在及及的的处处处处可可 导导 那那末末称称在在解解析析邻邻域域

10、内内( ), ( ). ( ) ().f zDf zDf zD如如果果函函数数在在则则称称在在区区域域内内解解析析 或或称称是是区区域域内内的的一一个个解解析析函函数数 全全纯纯区区域域内内每每一一点点可可微微( (解解函函数数或或正正则则函函数数析析) )定义定义 2.2z0记作：记作：f(z)A(D):, ( ).()()DGf zA GGf zDf zA D 如如果果存存在在区区域域闭闭区区域域且且则则称称在在闭闭区区域域 上上解解析析 记记作作DG1.2 解析函数的概念解析函数的概念16根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的

11、的.但但是是函数解析比可是与区域密切相函数解析比可是与区域密切相伴的伴的,要比可导的要求要高得多要比可导的要求要高得多即函数在即函数在z0点解析点解析函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导不等价不等价函数在函数在z0 0点可导点可导函数函数闭区域上解析闭区域上解析与在与在闭区域上可导闭区域上可导不等价不等价即函数在闭即函数在闭区域上解析区域上解析函数在函数在闭区闭区域上域上可导可导说说明明172. 奇点的定义奇点的定义000( ) , ( ) ( ).zf zf zzzf z不不解解析析都都有有如如果果函函数数在在但但在在 的的任任一一邻邻域域, ,那那末末称称解解析析点