初等数论潘承洞答案

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1、初等数论潘承洞答案【篇一：初等数论与中学数学】摘 要：初等数论是数学与应用数学、数学教育专业的一门专业基础课，主要研究整数的性质，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。近年来，数论在中学数学中的运用越来越多，特别是在中学的数学竞赛中运用极为广泛。本文主要介绍初等数论在中学数学中的应用以及初等数论与中学数学教学的相关问题。关键词：初等数论中学数学数学竞赛中学数学教学正 文：一、初等数论在中学数学中的应用在中学数学中，整数是最为常用的一种数之一，而初等数论是研究整数最基本的性质，与算术密切相关的一门学科，初等数论可以说是算术问题的延深。

2、初等数论中的整除性质，抽屉原理等一直是中学数学竞赛最热门的话题，由此可见初等数论在中学数学中的应用是极为广泛的。（一）中学数学中与初等数论相关的几个问题1、整除问题在小学的时候我们就知道，要知道一个数能不能被令一个数整除，可以用长除法来判断，但当被除数位数较多的时候，计算量增大，问题就变得非常麻烦了。但在学习了初等数论之后问题会得到大大的简化。1.1 整除的概念及其性质定义 1（整除） 设 a、 b 是整数， b0，如果存在整数 q, 使得 a=bq 成立，则称 b 整除 a,或 a 能被 b 整除，记作： b a。定理 1 （传递性） b a，c b = ca定理 3 m a1 ， m an

3、,q1,q2,qn z=m (a1q1+a1q2+anqn)定理 4 设 a 与 b 是两个整数， b0, 则存在唯一的两个整数得q 和r, 使a=bq+r,0 rb (1)并称 q 为 a 被 b 除所得的不完全商；r 叫做 a 被 b 除所得的余数；（ 2）式称为带余数除法。1 2 下面举几个例子：例 1 证明 3 n(n+1)(2n+1), 这里的 n 是任意整数。证法一：根据题意， n 可以写成 n=3q+r, 这里 r=0,1,2,q 为整数，对取不同的值进行讨论，得出结论。证法二：根据整数定义，任何连续三个整数的乘积必是证明三：根据12+22+n2=1/6n(n+1)(2n+1)=

4、n(n+1) （n+2 ）=6(12+22+n2)得出 6 n(n+1) （n+2 ）即 3 n(n+1)(2n+1)证明四：利用数学归纳法进行证明。例 2 设 a、b 、c 为正整数，且满足a+b+c=9, 求证a3+b3+c3 100 。3 的倍数。证明：假设 a3+b3+c3=100，于是（ a3-a ） +(b3-b)+(c3-c)=91因为 3（ a3-a ）， 3（ b3-b ）， 3（ c3-c ）于是 3（ a3-a ） +(b3-b)+(c3-c)，但是 3 不能整除 91 ，假设是错误的，因此 a3+b3+c3 100 得证【注】数论中的整除理论有如下结论：连续n 个整数中

5、必然存在唯一的一个数属于模n 同余于 0 的剩余类（即该集合中包含了所有n 的倍数），则任意连续n 个整数之积必是n 的倍数，对于任意整数a，均有 a3-a=a(a-1)(a+1), 而连续三个整数中必然有一个数是三的倍数，所有3（ a3-a ）例 3 已知 24 62742ab, 求 a、b 。故本题往往习惯于利用整除特征加以解决。但是利用整除特征解答有两个弊端，即解题过程比较繁琐，且若干非特殊数无法解，可利用整除的因式分解法得出一般的解法。【注】对于特殊数的整除规律要求能掌握其一般定理的证明，并熟记一些特殊数（如 2，3， 5，9 等）的整除规律。例 4 试证 n(n-1) 1 能被 (n

6、 一 1)2 整除。证明： n(n-1) 1=(n-1)+1(n-1)-1=(n-1)(n-1)+c （1，n-1 ） *（n-1 ）(n- 2)+ +c(n -2,n-1)*(n-1)+1-1=(n-1)(n-1)+(n-1)(n-1)+(n -1)2由于上式的每一项都能被 (n 一 1)2 整除，所以 n(n-1)-1 能被 (n 一 1)2 整除。【注】这里利用的是组合数 c（ k,n ）是整数，我们知道，在二项式 (a 十 b)n的展开式中其系数是组合数，它是一个整数，利用它的性质，有助于解决整除性的问题。例 5 证明：若 n 是大于 i 的正整数，则 f(n)=23n-7n-1 则能

7、被 49 整除。证明： (1)当 n=2 时， f(2)=2(3*2)-7*2-l=49能被 49 整除。(2) 假设 n=k 时 f(k)=2(3k)-7k-1能被 49 整除。当 n=k+1 时，要证 f(k+1)=23(k+1)-7(k+1)-1能被 49 整除。事实上， f(k+1)=8*23k-8*7k-8-49k=8(23k-7k-1)+49k显然， f(n+1) 能被 49 整除。综上可知，对于大于l 的任意正整数n， f(n) 都能被 49 整除。总结：竞赛中关于数论的论证题，基本上都是讨论整数性和整数解，证明方法通常有：直接法，间接法（反证法）。2、公因数与公倍数问题和整除性

8、一样，两个数的最大公因数也可以通过等号来定义，把它化作等式问题。下面用一个例子进行简单说明：例 1 (2000 年全国高中数学联赛 ) 在平面上的整点到直线 y=5x/3+4/5 的距离中最小的是（） a. 34/170 b. 34/85 c.1/20d.1/30解：首先整理直线方程为整数系数方程 25x-15y+12=0, 设平面上的整点 p(x0,y0) 到直线的距离为：d= 25x0-15y0+12 /534根据初等数论中的公因式理论，在x0,y0 为任意整数时，25x0-15y0便是了 5 的所有倍数，于是 d= 25x0-15y0+12 /534= 5k+12 /534在 5k=10

9、 的时候，距离d 取得最小值34/85 ，所以 b 答案正确【注】数论中的相应理论为：设 d 是整数 a、 b 的最大公约数，则存在唯一确定的整数 m 、 n ，使得 d=am+bn 成立，而且 d 的所有倍数可以写成 ax+by 的形式，其中 x、y 为任意整数。3、抽屉原理抽屉原理又称为鸽巢原理，它是组合数学的一个重要原理，最先由德国数学家狄利克雷明确的提出来的，因此，也有人把它成为狄利克雷原理。用一个简单的例子来说明抽屉原理，桌子上有十个苹果要放到九个抽屉里，无论怎么放，始终有一个抽屉里至少会出现两个苹果。这就是抽屉原理在日常生活中最简单的体现，利用抽屉原理我们可以解决很多看似复杂的排列

10、组合问题。原理 1： 把多于 n+1 个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。原理 2 ：把多于 mn(m 乘以 n) 个的物体放到n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1 的物体。原理 3 ：把无穷多件物体放入穷个n 个抽屉，则至少有一个抽屉里有无物体。原理 5：把（ mn 1）个物体放入 n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（ m 1）个物体。下面举一个例子：例 1：从 2、 4、 6、 、30 这 15 个偶数中，任取 9 个数，证明其中一定有两个数的和是 34 。分析与解答：题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉。此抽屉特点：凡是抽屉中有两个数的，都具有

11、一个共同的特点：这两个数的和是 34 。现从题目中的15 个偶数中任取9 个数，由抽屉原理（因为抽屉只有 8 个），必有两个数可以在同一个抽屉中（符合上述特点）由制造.的抽屉的特点，这两个数的和是34 。例 2：从 1 到 20 这 20 个数中，任取 11 个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。分析与解答 :根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这 20 个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10 个抽屉（显然，它们具有上述性质）： 1， 2， 4， 8， 16， 3， 6， 12， 5， 10，20， 7，14 ， 9， 18 ， 11