振动力学第四章多自由度系统的振动

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1、Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结构振动 第第4 4章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 目录 第第4 4章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 4.1.1 频率方程频率方程 4.1.2 主振型主振型 4.1.3 位移方程的解位移方程的解 4.1.1频率方程频率方程 m xm xm xk xk xk xm xm xm xk xkxkxm xm xm xk xkxkxnnnnnnnnnnnnnnnnnn111122111112212112222211222211221122000设设n自由度系统运动微分方程的特解为自由度系统运动

2、微分方程的特解为niptAxii, 3 , 2 , 1)sin( 即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为xAsin()pt MxKx 04.1.1频率方程频率方程 xAsin()ptA AAAAAAnnT1212将解式代入系统运动微分方程，并消去将解式代入系统运动微分方程，并消去 ，得到，得到sin()pt KAMA0p2KAMA p2()KM A0p2 MxKx 04.1.1频率方程频率方程 BKM p2()KM A0p2特征矩阵要使要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频

3、率方程是得到该系统的频率方程(或特征方程或特征方程)。KM0p2式是关于式是关于p2的的n次多项式，由它可以求出次多项式，由它可以求出n个固有频率个固有频率(或称或称特征值特征值)。因此，。因此，n个自由度振动系统具有个自由度振动系统具有n个固有频率。个固有频率。4.1.1频率方程频率方程 KM0p2A KAA MATT p2KAMA p2可得到AT前乘以下面对其取值情况进行讨论。下面对其取值情况进行讨论。由于系统的质量矩阵由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正是正定的或半正定的，因此有定的，因此有p20A KAA MATT0TMAA于是，得到0TKAA4.1

4、.1频率方程频率方程 频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。一般的振动系统的一般的振动系统的n n个固有频率的值互不相等个固有频率的值互不相等( (也有特殊情也有特殊情况况) )。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为。将各个固有频率

5、按照由小到大的顺序排列为012pppn其中最低阶固有频率其中最低阶固有频率p p1 1称为第一阶固有频率或称称为第一阶固有频率或称基频基频，然后，然后依次称为依次称为二阶、三阶固有频率二阶、三阶固有频率等。等。 对应于对应于pi可以求得可以求得A(i)，它满足，它满足4.1.2主振型主振型 0)()(2iipAMK0)(2AMKpA(i)为对应于为对应于pi的特征矢量。它表示系统在以的特征矢量。它表示系统在以pi的频率作自的频率作自由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也阶主振型，也称固有振型或主模态。称固有振型或主模态。 AAA11121

6、121222212AAAAAAAAAnnnnnnn( )( )( )( ) 对于任何一个对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到自由度振动系统，总可以找到n个固有个固有频率和与之对应的频率和与之对应的n阶主振型阶主振型4.1.2主振型主振型 AAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn( )( )( )( )对于任何一个对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到自由度振动系统，总可以找到n个固有频个固有频率和与之对应的率和与之对应的n阶主振型阶主振型在主振型矢量中，规定某个元素的值为在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其，并进而确定其它元素的过程称为归一化。它元

7、素的过程称为归一化。 令令 ，于是可得第，于是可得第i阶主振型矢量为阶主振型矢量为Ani ( )1 AiiiTAA121( )( )4.1.2主振型主振型 主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。BKM p2BBBadj11特征矩阵特征矩阵逆矩阵逆矩阵BBIBadjB B乘以iiiBBIBadjpi代入0adjiiBBBi 00)()(2iipAMK比较比较 所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。 AiiBadj任任何何非非零零列列成成比比例例4.1.3位移方程的解位移方程的解

8、当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有sin()pt p2 MAA0niptAxii, 3 , 2 , 1)sin( () MI A012p MI102pLMI 12p特征矩阵频率方程频率方程求出求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩阵阵adjL将将pi值代入而求出值代入而求出. 代入位移方程代入位移方程 Mxx0例例 题题解：选择解：选择x1、 x2、 x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为度矩阵分别为M mmm0000002K 2020

9、kkkkkkk将M和K代入频率方程KMp20202020222kp mkkkp mkkkp m例例 图是三自由度振动系统，设图是三自由度振动系统，设k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，试求系统的固有频率和主振型。，试求系统的固有频率和主振型。例例 题题299064223pkmpkmpkmpkmpkmpkm122232012671272631007.,.,.mkpmkpmkp7609. 1,2810. 1,3559. 0321 解方程得到解方程得到求出系统的三个固有频率为求出系统的三个固有频率为再求再求特征矩阵的伴随矩阵特征矩阵的伴随矩阵BKMpkp mkkkp m

10、kkkp m222220202例例 题题 22222222222222)2()2()2()2)(2()2()2()2)(2(adjkmpkmpkkkmpkkmpkmpkmpkkkmpkkkmpkmpkB设取其第三列设取其第三列(计算时可只求出这一列计算时可只求出这一列)，将，将p1值代入，得到第一值代入，得到第一阶主振型为阶主振型为 A1100001873325092. AA( ).23100000727404709100001100702115 将将p2 p3值代入得到第二、三阶主振值代入得到第二、三阶主振型为型为归一化后，即令归一化后，即令例例 题题 ipAMK)(2 = 0主振型也可由式

11、主振型也可由式 求得求得0)(2AMKpppp123,代入 Aii111 2 3(, )可得主振型可得主振型例例 题题例例 在前例中，若在前例中，若k1 =0, 求系统的固有频率和主振型。求系统的固有频率和主振型。k10K kkkkkkk020相当于图所示系统中去掉这个弹簧，这时刚度矩阵为相当于图所示系统中去掉这个弹簧，这时刚度矩阵为解：解：B kp mkkkp mkkkp m2220202()2740342222m pkm pk m p特征矩阵为特征矩阵为可得到频率方程可得到频率方程例例 题题ppkmpkm12223200719227808,.,.ppkmpkm12300848116676,