振动波动讨论课.

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1、1讨论课讨论课4振动和波动振动和波动2013.22 1. 1. 如图所示，在光滑水平面上两弹簧和小如图所示，在光滑水平面上两弹簧和小球在球在 y 方向做微振动方向做微振动（ya）。（1 1）这一振动是简谐振动吗？）这一振动是简谐振动吗？（2 2）求恢复力。）求恢复力。a ：自然长度自然长度aa y y 0kmy ：位移位移3解解222p212)( aaykyE 0212d)(d0322202202p2 yyyaykayayakyyE0d)(d0p yyyE这一微振动不是简谐振动！这一微振动不是简谐振动！（1）系统的势能函数：）系统的势能函数：222 aayk2222p22)(2d)(dayya

2、aykyyE 2212ayaky4aa y y 0km（2）求恢复力）求恢复力 2212ayakyyEfpdd 32yak yyEd)(dp 2212ayaky 2)(1112ayky 222112ayky不是简谐振动不是简谐振动5 2. 如图如图(a)所示，把一劲度系数为所示，把一劲度系数为 k 的轻质弹簧的一的轻质弹簧的一端固定，另一端系在质量为端固定，另一端系在质量为 m 的匀质圆柱体的对称轴的匀质圆柱体的对称轴上，圆柱体可绕对称轴自由转动。今沿弹簧长度方向上，圆柱体可绕对称轴自由转动。今沿弹簧长度方向拉开圆柱体然后释放，让圆柱体在水平面上作无滑动拉开圆柱体然后释放，让圆柱体在水平面上作

3、无滑动滚动。滚动。（1）证明系统作简谐振动；（）证明系统作简谐振动；（2）求振动频率；）求振动频率；（3）求相应的线性恢复力；（）求相应的线性恢复力；（4）当弹簧和圆柱体放）当弹簧和圆柱体放在斜面上（图在斜面上（图(b)），情况如何？），情况如何？kmkm（a）（b）6（1）证明系统作简谐振动）证明系统作简谐振动 静摩擦力静摩擦力 f 与弹簧的弹力与弹簧的弹力 F 的方向相反。圆柱体的方向相反。圆柱体质心运动定理：质心运动定理： Cmakxf 取垂直于纸面向里为正方向，设圆柱体的半径为取垂直于纸面向里为正方向，设圆柱体的半径为R，绕过质心轴转动定理：绕过质心轴转动定理：km0 x xFfC22

4、1,mRIC CIRf 无滑动滚动条件：无滑动滚动条件： RaC 7032 xmkaC03222 xmktxdd即即联立解得：联立解得：因此，系统围绕平衡位置作简谐振动。因此，系统围绕平衡位置作简谐振动。（2）振动频率为）振动频率为mk3221 km0 x xFfC8（3）相应的线性恢复力）相应的线性恢复力kkmkmk32,32 线性恢复力：线性恢复力：kxxkF32 用用 代表系统等效劲度系数代表系统等效劲度系数kkm0 x xFfC9（4）当弹簧和圆柱体放在斜面上，只是平衡位置向）当弹簧和圆柱体放在斜面上，只是平衡位置向x 轴正方向移动轴正方向移动 sin0kmgx 其他与水平情况相同。其

5、他与水平情况相同。km10通过能量判通过能量判 据求解：据求解： 静摩擦力不做功，系统机械能量守恒，且势能函静摩擦力不做功，系统机械能量守恒，且势能函数为数为 ，则系统围绕平衡位置作简谐振动。，则系统围绕平衡位置作简谐振动。22kxEmIkxCC 222212121v RC v,能量守恒可表示为能量守恒可表示为即即EmkxC 224321v对时间求导，得对时间求导，得 03222 xmktxdd11kkkmm3. 求耦合双振子系统的固有频率和振动模式（即振求耦合双振子系统的固有频率和振动模式（即振动函数）。动函数）。12解解O1O2x1x2x12122221211122kxkxkxkxkxxm

6、kxkxkxkxkxxm 设：设：ttttAAxAAxi2ii22i1ii11eee,eee210)2(0)2(221212AmkAkAkAmk0222122AAmkkkmkkkkmm130)2(222kmkmkmkba3,解得固有频率：解得固有频率：0222122AAmkkkmk02222mkkkmk把把 代入，解出代入，解出 关系：关系： ba,21,AA14mkAAa，当21mkAAb321，当两种振动模式：两种振动模式：)cos()cos(21aaaatAxtAx)cos()cos(21bbbbtBxtBxmmmm振幅、初相由初始条件确定。振幅、初相由初始条件确定。15 4. 在受迫振