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1、第一讲：实数课前练习：一、填空：1.若无理数a满足：1<a<4,请写出两个你熟悉的无理数：_,_.2.在数轴上离原点距离是的点表示的数是_.毛3. 的相反数是_,-的相反数是_.4.|2-| =_,|3-|=_.5.比较大小:3_, 7_6,-_-3,_()36.大于-而的所有整数的和_.7.设a是最小的自然数,b是最大负整数,c是绝对值最小的实数,则a+b+c=_.二、选择：8.下列命题中正确的是( ) A.有限小数不是有理数 B.无限小数是无理数C.数轴上的点与有理数一一对应 D.数轴上的点与实数一一对应9.下列四个实数中是无理数的是( ) A.2.5 B. C. D.1.41
2、410.)有下列说法:带根号的数是无理数;不带根号的数一定是有理数;负数没有立方根;-是17的平方根,其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个11.-、-、-四个数中,最大的数是( ) A. B.- C.- D.-12.在实数范围内,下列各式一定不成立的有( ) (1)=0; (2)+a=0; (3)+=0; (4)=0.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个知识讲解：阅读下列材料： 设x=0. =0.333 则10x=3.333 则得9x3，即x= 即0. =0.333=根据上面提供的方法，你能把0.，0.化成分数吗？且想一想是不是任何无限循环小数都可以化成分数？在此基础上
3、得到结论：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数，所以任何一个有限小数或无限循环小数都是有理数。我们知道，许多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，它们不能化成分数我们给无限不循环小数起个名，叫“无理数”有理数和无理数统称为实数例1（1）你能尝试着找出三个无理数来吗？ （2）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 想一想？用根号形式表示的数一定是无理数吗？2、实数的分类 （1）画一画 请画出有理数的分类图 （2）挑战自己 请画出实数的分类图例2把下列各数填人相应的集合内： 整数集合 负分数集合 正数集合 负数集合 有理数集合 无理数集合 我们知道，在有理数中只有符号不同的两个数叫做互为相
4、反数，例如3和3，和等，实数的相反数的意义与有理数一样。请学生回忆在有理数中绝对值的意义例如，|3|=3，|0|=0，|=等等实数绝对值的意义和有理数的绝对值的意义相同试一试完成课本第176页思考题引导学生类比地归纳出下列结论：数a的相反数是a一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.例1 求下列各数的相反数和绝对值： 2.5，0，3例2 一个数的绝对值是，求这个数。例3 求下列各式的实数x：（1）|x|=|；（2）求满足x4的整数x我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是否都表示有理数？无理数可以用数轴上的点来表示吗？2、你能在数轴上画出坐标
5、是的点吗？画一画，说说你的方法得出结论：1、每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来2、在数从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的即：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数随堂检测：1.在数,0,-3.14,-,32,-2,-0.232 332 333 2(每两个2之间的3依次多一个)中,有理数是_;无理数是_.2.正数a的平方根记作_,而正数a的算术平方根则是指正数a的平方根中_的一个.3.的平方根是_,32的平方根是_.4.平方根是本身的数是_;算术平方根是本身的数是_;立方根是本身的数是_.5.一个正方体,它的体积是棱长为4厘米的正方体的体积的一
6、半,则这个正方体的棱长是_厘米.6.若3<x<4,化简+|5-x|的正确结果是_。课堂练习：选择题1.无理数是A.无限小数 B.带根号的数C.除有限小数以外的所有实数 D.除有理数以外的所有实数2.下列说法正确的是A.81的平方根是-9 B.的平方根是±9C.27的立方根是±3 D.0.125的立方根是0.53.大家知道是一个无理数,那么-1在哪两个整数之间?A.1与2 B.2与3 C.3与4 D.4与54.下列关于实数的叙述中说法正确的是A.没有最小的实数 B.没有绝对值最小的实数C.所有的实数都有倒数 D.不是所有的实数都有相反数5.已知实数x，y满足，则代
7、数式的值为（ ）A 1 B1 C2008 D20086.若与互为相反数，则的值为 （）A.1 B.9 C.9 D.277.计算 ( 1)2 + ( 1)3 = （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2 8.2004年，我国财政总收入21700亿元，这个数用科学记数法可表示为 （ ）A217×103亿元 B217×103亿元C. 217×104亿元 D217×10亿元9.的平方根是（ ）A、 B、+3 C、 D、10.下列计算中正确的是（ ）A B C . D课外作业：1.下列运算错误的是 ( )A. B.· C.÷ D.22.3
8、的绝对值是（ ）A3 B3 C±3 D3.北京时间2010年4月20日晚，中央电视台承办情系玉树，大爱无疆抗震救灾大型募捐活动特别节目共募得善款21.75亿元.21.75亿元用科学计数法可表示为（ ） A.21.75×108元 B.0.2175×1010元 C.2.175×109元 D.2.175×1010元4、32的值是 （ ）A、3 B、3 C、9 D、9三解答题1.求下列各数的平方根和算术平方根.81,0.16,0,21.2.求下列各数的立方根.-9,0.125,10-9,. 3.计算与化简.(1);(2);(3)()2;(4)()3;(
9、5)2-3-(2+);(6)4-5+.5.解答题.(1)人造卫星要绕地球旋转,必须克服地球引力,克服地球引力的速度称为逃逸速度.逃逸速度的计算公式为v=(千米/秒),其中g=0.009 8千米/秒2,R=6 370千米,求逃逸速度(结果保留两个有效数字).(2)钳工车间用圆钢做正方形螺母,现要做边长为1 cm的方形螺母,问下料时至少要用直径为多大的圆钢?请你画出示意图并结合图形进行计算(结果保留两个有效数字).6.把下列各数分别填在相应的集合中: -,-,0,-, .,3.14 有理数集合 无理数集合7.根据右图拼图的启示: (1)计算+=_; (2)计算+=_; (3)计算+=_.8.已知坐
10、标平面内一点A(-2,3),将点A先向右平移个单位,再向下平移个单位,得到A,则A的坐标为_.9.阅读下面的文字,解答问题. 大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用-1来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗? 事实上,小明的表示方法是有道理的,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分. 请解答:已知:10+=x+y,其中x是整数,且0<y<1,求x-y的相反数.？趣味数学题2、 有位渔夫，头戴一顶大草帽，坐在划艇上在一条河中钓鱼。河水的流动速度是每小时3英里，他的划艇以同样的速度顺流而下。“我得向上游划行几英
11、里，”他自言自语道，“这里的鱼儿不愿上钩！” 正当他开始向上游划行的时候，一阵风把他的草帽吹落到船旁的水中。但是，我们这位渔夫并没有注意到他的草帽丢了，仍然向上游划行。直到他划行到船与草帽相距5英里的时候，他才发觉这一点。于是他立即掉转船头，向下游划去，终于追上了他那顶在水中漂流的草帽。 在静水中，渔夫划行的速度总是每小时5英里。在他向上游或下游划行时，一直保持这个速度不变。当然，这并不是他相对于河岸的速度。例如，当他以每小时5英里的速度向上游划行时，河水将以每小时3英里的速度把他向下游拖去，因此，他相对于河岸的速度仅是每小时2英里；当他向下游划行时，他的划行速度与河水的流动速度将共同作用，使
12、得他相对于河岸的速度为每小时8英里。 如果渔夫是在下午2时丢失草帽的，那么他找回草帽是在什么时候？ 答案 由于河水的流动速度对划艇和草帽产生同样的影响，所以在求解这道趣题的时候可以对河水的流动速度完全不予考虑。虽然是河水在流动而河岸保持不动，但是我们可以设想是河水完全静止而河岸在移动。就我们所关心的划艇与草帽来说，这种设想和上述情况毫无无差别。 既然渔夫离开草帽后划行了5英里，那么，他当然是又向回划行了5英里，回到草帽那儿。因此，相对于河水来说，他总共划行了10英里。渔夫相对于河水的划行速度为每小时5英里，所以他一定是总共花了2小时划完这10英里。于是，他在下午4时找回了他那顶落水的草帽。 第
13、二讲：整式课前练习1做一做。某学生合唱团出场时第一排站了名，从第二排起每一排都比前一排多一人，一共站了四排，则该合唱团一共有多少名学生参加？写出答案： 对上式化简。 2练习：化简：（1）(2x3y)+(5x+4y) (2)2知识讲解1合并同类项：可根据购买的时间次序列出代数式，也可根据购买物品的种类列出代数式，再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起，将它们合并起来，化简整个多项式，所得结果都为 元。由此可得： 叫做合并同类项。2例题：例1：找出多项式3x2y4xy235x2y2xy25中的同类项，并合并同类项。根据以上合并同类项的实例，讨论归纳得出合并同类项的法则：把同类项的 相加，所得
14、的结果作为系数，字母和字母指数保持 。1整式的加减：（）如果有括号，那么先去括号。（）如果有同类项，再合并同类项。2例题：例1：求整式x27x2与2x2+4x1的差。练习：一个多项式加上5x24x3与x23x，求这个多项式。例2：计算：2y3+(3xy2x2y)2(xy2y3)。 例3：化简求值：(2x3xyz)2(x3y3+xyz)+(xyz2y3)，其中x=1，y=2，z=3。1例题：例1：找出下列代数式中的单项式、多项式和整式。，4xy，x2+x+，0，m，2.01×105例2：指出下列单项式的系数、次数：ab，x2，xy5，。例3：指出多项式a3a2bab2+b31是几次几项
15、式，最高次项、常数项各是什么？例4：化简，并将结果按x的降幂排列：(1)(2x45x24x+1)(3x35x23x)；(2)(x+)(x1)；(3)3(x22xy+y2)+ (2x2xy2y2)。例5：化简、求值：5ab23ab(4ab2+ab)5ab2，其中a=，b=。例6：一个多项式加上2x3+4x2y+5y3后，得x3x2y+3y3，求这个多项式，并求当x=，y=时，这个多项式的值。自我检测 1、“的平方与2的差”用代数式表示为_. 2、当时，代数式的值是_； 3、代数式的系数是次数是_，次数是_；当时，这个代数式的值是_. 4、多项式是_次_项式，常数项是_； 5、计算： 6、写一个关
16、于x的二次三项式: _. 7、请任意写出的一个同类项_. 8、观察下列单项式：x,-3x2,5x3,-7x4,9x5,按此规律，可以得到第2008个单项式是_.第n个单项式怎样表示_. 9、代数式的最大值是_.10、下列各式中，正确的是（ ） A、 B、 C、 D、11、下列各组式子中，是同类项的是（ ）A、与 B、与 C、与 D、与12、下列说法中正确的是（ ） A、单项式的系数和次数都是零 B、是7次单项式C、的系数是5 D、0是单项式 13、将多项式按字母升幂排列正确的是（ ）A、 B、 C、 D、14、当时，代数式的值等于2002，那么当时，代数式 的值为（ ）A、2001 B、-20
17、01 C、2000 D、-2000 15、合并同类项:（1）; （2） .16、先化简，再求值:（1），其中；（2），其中.？趣味数学题 1.甲、乙、丙三人站成一排照相，有（ ）种排法？ 2.（ ）+（ ）>( )×（ ）括号里必须添相同的整数 3.（ ）+（ ）= ( )×（ ）括号里必须添相同的整数 4.（ ）×（）×（）（）+（）+（） 第三讲；因式分解课前练习1、 下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(mn)(ab)(mn)(xy)(mn)(abxy)；(3)2m(m-n)=2
18、m2-2mn； (4)4x2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a2+6a=3a（a+2）；(6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x； (7)k2+2=（k+）2；(8)18a3bc=3a2b·6ac。知识讲解：、情境导入看谁算得快：（抢答）(1)若a=101,b=99,则a2-b2=_；(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=_；(3)若x=-3,则20x2+60x=_。、探究新知1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)
19、2 =10000；(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。2、观察：a2-b2=(a+b)(a-b) ， a2-2ab+b2 = (a-b)2 ， 20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？) 3、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。 、前进一步 (a+b)(a-b)= a2-b2 , (a-b)2= a2-2ab+b2， 20x(x+3)= 2
20、0x2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？ 2、因式分解与整式乘法的关系： 因式分解 结合：a2-b2 （a+b）（a-b） 整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。结论：因式分解与整式乘法的相互关系相反变形。平方差公式法把乘法公式(a+b)(ab)=
21、a2b2反过来得：a2b2=(a+b)(ab)我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式。这种方法叫运用平方差公式法。练一练：1、把下列各式分解因式(1)16a424a2b29b4 (2)(xy)210(xy)25提公因式法1、概念1. 多项式abacad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式（common factor）。多项式a2bab2的公因式是ab，公因式是字母；多项式3x23y的公因式是3，公因式是数字系数；多项式3x26x3的公因式是3x2，公因式是数学系数与字母的乘积。例1：把下列各式分解因式（1）6a3b9a2b2c （2）2m38m212m例2 辨
22、别下面因式分解的正误并非指明错误的原因。（1）分解因式 8a3b212ab44ab=4ab（2a2b3b3）（2）分解因式 4x42x3y=x3（4x2y）（3）分解因式 a3a2=a2（a1）= a3a2例3分解因式（ab）22（ab）4、已知ab=7，ab=6，求a2bab2的值。5、已知m、n为自然数，且m（mn）n（nm）=7，求m、n的值。十字相乘法例4把下列多项式顺式分解： 分组分解法例5把下列多项式分解因式 ： 课堂练习：一、选择题1.把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ）ABCD2.把a3ab2分解因式的正确结果是（ ）A (a+ab)(aab) B a (a2
23、b2)C a(a+b)(ab) D a(ab)23.）把a34ab2分解因式，结果正确的是（ ）Aa(a4b)(a4b) Ba(a24b2) Ca(a2b)(a2b) Da(a2b)2二、填空题1、在实数范围内分解因式：= 2、分解因式：= 3、把分解因式的结果是 . 4、分解因式：ax26ax+9a= 5、已知不等式组的解集是2<x<3,分解因式x2-3x-2mn= 6、分解因式：= .7、把多项式分解因式，结果是 8、分解因式：2ab28a=9、 在实数范围内因式分解_.10、分解因式：=_11、分解因式：12、因式分解： 13、分解因式：-= 14、把多项式分解因式的结果为
24、15、分解因式：= . 16、因式分解：= 17、实数范围内因式分解_18.分解因式：=_19.因式分解= 20.请从中，任选两式做差得到的一个式子进行因式分解是_21. 因式分解= _. 22. 请从中，任选两式做差得到的一个式子进行因式分解是_.23. 分解因式：=_.24. 分解因式：_ _ 25、分解因式： ；26、分解因式：x2xy2y2xy 27、在实数范围内分解因式：m32m= 28.在实数范围内因式分解： = . 29.分解因式：x3-4xy2= 30分解因式：abac = .课后检测：1、）因式分解：= 2、分解因式：_.3、分解因式： .4、分解因式= 。5、分解因式= 6
25、、因式分解：2x2-8= _。7、分解因式：=_8、分解因式： .9、因式分解： 10、分解因式：xx y 11、因式分解：2x2-8= _。 12、分解因式：13、分解因式：= . 14、分解因式：x34x.15、分解因式：_。16、分解因式： 17、分解因式：m4- m2= 18、因式分解： 19、分解因式x(x+4)+4的结果 .20、分解因式： .三、 解答题1 、分解因式：2、先化简，在求值:，其中. 3、先化简，再求值： ，其中=-2 4、在下面三小题中任选其中两小题完成（1）已知，求代数式的值； （2）分解因式 趣味数学题1.一个房子里有10支蜡烛，一阵风吹来，灭了6支，妈妈把门
26、窗关好。早上房子里还有（ ）支蜡烛。 2.妈妈给小明一个大盒子，里面装着6个纸盒子，每个纸盒子又装4个小盒子，小明一共有（ ）个盒子。 3.运动场上正在进行长跑比赛。在每位参加赛跑的运动员前面有7个人在跑着，在每位运动员的后面，也有7个人在跑着，现在运动场上一共有（）名运动员。 4.一只蜗牛想从枯井里爬出来看看天有多大。它每天白天爬上米，晚上有退下去米。整整爬到第天才爬到井口。这口枯井有（）米深。 5.数字谜语。（1）头尾都是一，身腰也是一，看来都是一，其实不是一。（ ） 答案 1.甲、乙、丙三人站成一排照相，有（6 ）种排法 2.（ 1）+（1 ）>(1 )×（1 ） 3.（
27、 2 ）+（2 ）= (2 )×（2 ） 4.（ 1 ）×（1）×（1）（0）+（0）+（1）1.一个房子里有10支蜡烛，一阵风吹来，灭了6支，妈妈把门窗关好。早上房子里还有（ 6 ）支蜡烛。 2.妈妈给小明一个大盒子，里面装着6个纸盒子，每个纸盒子又装4个小盒子，小明一共有（ 31 ）个盒子。 3.运动场上正在进行长跑比赛。在每位参加赛跑的运动员前面有7个人在跑着，在每位运动员的后面，也有7个人在跑着，现在运动场上一共有（15）名运动员。4.一只蜗牛想从枯井里爬出来看看天有多大。它每天白天爬上米，晚上有退下去米。整整爬到第天才爬到井口。这口枯井有（10）米深。5
28、.数字谜语。（1）头尾都是一，身腰也是一，看来都是一，其实不是一。（3 ）第四讲：一元一次方程（1）知识讲解如下图：问题1：从上图中你能获得哪些信息？（从时间、路程、速度、四地的排列顺序等方面去考虑。）问题2：你会用算术方法求出王家庄到翠湖的距离吗？回顾小结：1、问题涉及的三个基本物理量及其关系；2、从知的信息中可以求出汽车的速度；3、从路程的角度可以列出不同的算式：问题3：能否用方程的知识来解决这个问题呢？列出方程 问题1:题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思？ 问题2:汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示？你能表示其他各段路程的车速吗？问题3：根据车速相等，你能列出方程吗？分析，如
29、：依据“王家庄至青山路段的车速=王家庄至秀水路段的车速”可列方程： ，依据“王家庄至青山路段的车速=青山至秀水路段的车速”可列方程： 3、给出方程的概念，介绍等式、等式的左边、等式的右边等概念4、归纳列方程解决实际问题的两个步骤： (1)用字母表示问题中的未知数（通常用x,y,z等字母）； (2)根据问题中的相等关系，列出方程 列算式：只用已知数，表示计算程序，依据是间题中的数量关系； 列方程：可用未知数，表示相等关系，依据是问题中的等量关系。2、思考：对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？、 建议按以下的顺序进行：！ 如果直接设元，还可列方程： 如果设王家庄到
30、青山的路程为x千米，那么可以列方程： 依据各路段的车速相等，也可以先求出汽车到达翠湖的时刻：，再列出方程=60说明：要求出王家庄到翠湖的路程，只要解出方程中的x即可。例题讲解1、例题：根据下列条件，列出关于x的方程： （1)x与18的和等于54； （2）27与x的差的一半等于x的4倍 解：（1）x18=54； （2）（27x）4x.随堂练习列式表示： 比a小9的数； x的2倍与3的和； 5与y的差的一半； a与b的7倍的和 (2)根据下列条件，列出关于x的方程： （1） 12与x的差等于x的2倍； （2）x的三分之一与5的和等于6.1、 选做题：根据下列条件，用式表示问题的结果：（1） 一打铅
31、笔有12支，m打铅笔有多少支？（2） 某班有a名学生，要求平均每人展出4枚邮票，实际展出的邮标量比要求数多了15枚，问该班共展出多少枚邮票？（3） 根据下列条件列出方程：小青家3月份收入a元，生活费花去了三分之一，还剩2400元，求三月份的收入。（4） 小雨、小思的年龄和是25.小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁，小雨、小思的年龄各是几岁？课后小结归纳：各方程都只含有一个未知数，并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程“一元”：一个未知数；“一次”：未知数的指数是一次用方程的方法来解决实际问题，一般要经历的步骤：实际问题一元一次方程设未知数 列方程课后练习判断下列方程是不是一元一次方程
32、：（1）23-x=一7： （2）2a-b=3(3 )y+36y-9； （4）0.32 m-(30.02 m) =0.7.（5）x21 （6）一元一次方程（2）知识讲解分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法列出方程后，还必须解这个方程，求出未知数的值对于简单的方程，我们可以采用估算的方法问题：你认为该怎样进行估算？可以采用“尝试发现归纳”的方法：要求出答案必须用一些具体的数值代入，看方程是否成立。可以用列表的方法进行尝试，也可以像下面的示意图那样按程序进行尝试在此基础上给出概念：能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解求方程的解的过程，叫做
33、解方程一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代人方程，看方程左右两边的值是否相等课堂练习：（1）x=3是下列哪个方程的解？（ ） A. 3x-1-9=0 B. x=10-4x C. x(x-2)3 D. 2x-712（2）方程的解是（ ） A. 3.B C. 12 D. 12（3）已知x5与2x4的值互为相反数，列出关于x的方程 (4)某班开展为贫困山区学校捐书活动，捐的书比平均每人捐3本多21本，比平均每人捐4本少27本，求这个班，有多少名学生？如果设这个班有x名学生，请列出关于 x的方程约公元825年，中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程这本书
34、的拉丁文译本取名为对消与还原“对消”与“还原”是什么意思呢？问题1：某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。前年这个学校购买了多少台计算机？分析： 设未知数：前年购买计算机x台 找相等关系：前年购买量去年购买量今年购买量=140台 列方程：x2x4x=140怎样解这个方程？如何将这个方程转化为x=a的形式？学生观察、思考：根据分配律，可以把含 x的项合并，即x2x4x=（124）x=7x以上解方程“合并”起了什么作用？每一步的根据是什么？“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x=a的形式。对于问题1还有不同的未知数的设法吗？若设去年购买计
35、算机x台，得方程若设今年购买计算机x台，得方程一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3：5，问黑色皮块有多少？问题2：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本这个班有多少学生？分析：1、设未知数：设这个班有x名学生2、找相等关系： 这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等3、列方程：3x20=4x-25 为使方程的右边没有含x的项，等号两边同减去4x，为使方程的左边没有常数项，等号两边同减去20. 3x4x=2520 （2） 以上变形依据是什么？ 等式的性质1。 归纳：像上面那样把等式一边
36、的某项变号后移到另一边，叫做移项。通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式。对于问题1还有不同的未知数的设法吗？若设去年购买计算机x台，得方程若设今年购买计算机x台，得方程课后练习1有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果送还 和了一条船 ，正每条船坐9人，问这个班共多少同学？2有一列数，按一定规律排列成1，3，9，27，81，243其中某三个相邻数的和是1701，这三个数各是多少？3 三个连续的奇数的和是27，求这三个奇数。如果三个连续奇数的和是29，你能求出这三个奇数吗？4在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道
37、这三天的日期的数字之和是39.（1） 培训时间是连续的三天，你知道这几天分别是当月的哪几号吗？（2） 若培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是当月的哪几号？5三个连续偶数的和是30，求这三个偶数。6一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3：5，问黑色皮块有多少？7 选做题：小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：“我用笔圈出了2×2的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？”你能帮小红解决吗？8信息社会，人们沟通交流方式多样化，移动电话已很普及，选择经济实惠的收费方式很有理实意义。观察下列两种移动电话计费方式
38、表：全球通神州行月租费50元/月0本地通话费0.40元/分0.60元/分设计以下问题：（1） 你能从中表中获得哪些信息，试用自己的话说说。（2） 猜一猜，使用哪一种计费方式合算？（3） 一个月内在本地通话200分和300分，按两种计费方式各需交费多少元？对于某个本地通通话时间，会出现两种计费方式的收费一样的情况吗？9一个两位数，个位数字是十位数字的3倍，如果把个位数字与十位数字对调，那么得到的新数比原数大54，求原来的两位数。10 学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15个人没有座位，如果租用相同数量60座的客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车25
39、0元，60座的客车日租金为300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？趣味数学悖论：公元前400多年古希腊的数学家提出这样一个观点，跑得最快的阿基里斯永远追不到爬得最慢的乌龟。因为必须到达乌龟出发点A，而此时乌龟又进到点，当阿再时到点时，乌龟又进到点，如此继续下去，阿永远追不上它，显然这是一个错误的结论，故称为悖论。应该怎么反驳这个结论呢？第五讲：一元二次方程第一节：一元二次方程的概念及解法课前练习：1一元二次方程的解是（ ）. A，BCD ， 2一元二次方程中，该方程的解的情况是: ( ) A没有实数根 B有两个不相等的实数根 C有两个相等的实数根 D不能确定3一元二次方程=2x的根为（ ）
40、A.x=2 B x=0 C x=± D.=0,=24下列命题：若b=2a+c,则一元二次方程a+bx+c=O必有一根为-2；若ac<0, 则方程 c+bx+a=O有两个不等实数根；若-4ac=0, 则方程 c+bx+a=O有两个相等实数根；其中正确的个数是（ ）AO个 B.l个 C.2个 D3 个5下列哪一个数与方程的根最接近（ ）A、2 B、3 C、4 D、5知识讲解：复习提问1什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？2指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？(l)3x+4=l； (2)6x-5y=7；方程分为两大类：一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一
41、个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程其一般形式是ax2+bx+c=0(a0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零一元二次方程的解法方法1：例1 解方程 x2-4=0解：先移项，得x2=4即x1=2，x2=-2这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法例2 解方程 (x+3)2=2方法2：研究方程x2+6x+7=0的解法：将方程视为：x2+2·x·3=-7，即 x2+2·x·3+32=32-7， (x+3)2=2，这种解一元二次方程的方法叫做配方法这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如
42、果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解方法3：用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的步骤 解：a0，两边同除以a，得把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得(a0)的求根公式用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法应用求根公式解一元二次方程的关键在于：(1)将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a0)；(2)将各项的系数a，b，c代入求根公式例1 解方程x2-3x+2=0例2 解方程2x2+7x=4方法4：以方程x2=4为例移项，得 x2-4=0，对x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0我们知道： x+2=0，x-2=0即 x1=-2，
43、x2=2由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之这种方法叫做因式分解法例1 解下列方程：(1)x2-3x-10=0； (2)(x+3)(x-1)=5例2 解下列方程：(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)(3x+1)2-5=0例3 解下列方程：(1)3x2-16x+5=0；(2)3(2x2-1)=7x巩固练习：1 解下列方程：2 解下列方程：(1)5x(5x-2)=-1；(2)(x-2)2+10(x-2)+16=03 用适当的方法解下列方程： 第二节：一元二次方程的根的判别式知识讲解：对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，可将其变形为a0，
44、4a20由此可知b24ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况(1)当b24ac0时，方程右边是一个正数(2)当b24ac0时，方程右边是0通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax2bxc0的根的情况可由b24ac来判定故称b24ac是一元二次方程ax2bxc0的根的判别式，通常用“”来表示综上所述，一元二次方程ax2bxc0(a0)当0时，有两个不相等的实数根；当0时，有两个相等的实数根；当0时，没有实数根反过来也成立应用判别式解题应注意以下几点：1应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件2不必解方程，只须先求出，确定其符号即可，具体数值不一定要计算出来
45、3其逆命题也是成立的例题讲解例 不解方程，判别下列方程根的情况：(1)2x23x40；(2)16y2924y；(3)5(x21)7x0想一想：已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0，其中=-(4k+1)2-4×2×(2k2-1)=16k2+8k+1-16k2+8=8k+9当k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根例1 当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根例2 求证关于x的方程(k2+1)x2-2kx+(
46、k2+4)=0没有实数根例3 证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m2有两个不相等的实数根例4 已知a，b，c是ABC的三边的长，求证方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实数根练习：1若mn，求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0无实数根2求证：关于x的方程x2+(2m+1)x-m2+m=0有两个不相等的实数根解决判定一元二次方程ax2+bx+c=0的方程根的情况应依照下列步骤进行：1计算；2用配方法将恒等变形(或变成易于观察其符号的情况)；3判断的符号，得出结论第三节：方程的根与系数的关系知识讲解：一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根为由此得出，一元二次方
47、程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)如果ax2bxc0(a0)的两个根是x1，x2，那么我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0的根与系数的关系我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0的根与系数的关系得出：如果方程x2pxq0的两根是x1，x2，那么x1x2p，x1x2q由 x1x2p，x1x2q 可知p(x1x2)，qx1·x2， 方程x2pxq0，即 x2(x1x2)xx1·x20这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2(x1x2)xx1·x20例题讲解例1 已知方程5x2kx60的一个根是2，求
48、它的另一根及k的值例21方程5x2kx60两根互为相反数，k为何值？2方程2x27xk0的两根中有一个根为0，k为何值？例4利用根与系数的关系，求一元二次方程2x23x10两根的(1)平方和；(2)倒数和第四节：一元二次方程的应用（一）二次三项式的因式分解(公式法)知识讲解二次三项式ax2+bx+c(a0)，我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法 易知，解一元二次方程2x2-6x+40时，可将左边分解因式，即2(x-1)(x-2)0， 求得其两根x11，x22.反之，我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式即，令二次三项式为0，解此
49、一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式具体方法如下： 如果一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的两个根是ax2-(x1+x2)x+x1x2 a(x-x1)(x-x2)从而得出如下结论在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2，然后写成ax2+bx+ca(x-x1)(x-x2)例如，方程2x2-6x+40的两根是x11，x22 则可将二次三项式分解因式，得2x2-6x+42(x-1)(x-2)例题讲解例1 把4x2-5分解因式例2 把4x2+8x-1分解因式（此题注意将二次项系数4分解乘入两因式的必要性，即化简结论）例3 把2x2-8x
50、y+5y2分解因式（注意视之为关于x的方程，视y为常数的重要性）第五节：一元二次方程的应用(二)知识讲解提出了如下问题：用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子试问：应如何求出截去的小正方形的边长？ 解：设小正方形边长为xcm，则盒子底面的长、宽分别为(80-2x)cm及(60-2x)cm，依题意，可得(80-2x)(60-2x)1500， 即 x2-70x+8250当时，我们不会解此方程现在，可用求根公式解此方程了x155，x215 当x55时，80-2x-30，60-2x-50； 当x15时，80-2x50，60-2X30 由于长、宽不能取负值，故只能取x15，即小正方形的边长为15cm 我们再看一个应用题： 剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？ 分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数来列方程 解：设这块铁片宽xcm，则长是(x+5)cm依题意，得x(x+5)150，即x2+5x-1500 x110，x2-15(舍去) x10，x+515 答：应将之剪成长15cm，宽10cm的形状小结利用一元二次方程解应用题的主要步骤仍是：审题；设未知数；列方程；解方程；依题意检验所得的根；得出结论并作答
