数值分析——误差估计

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1、1第五章第五章线性方程组直接解法线性方程组直接解法 误差估计误差估计2本讲内容本讲内容n 向量范数向量范数n 矩阵范数矩阵范数l 向量范数的定义向量范数的定义l 常见的向量范数常见的向量范数l 向量范数的性质向量范数的性质l 矩阵范数的定义矩阵范数的定义l F-范数与算子范数范数与算子范数l 矩阵范数的性质、算子范数的性质矩阵范数的性质、算子范数的性质n 误差估计误差估计3向量范数向量范数设函数设函数 f : Rn R，若，若 f 满足满足(1) f(x) 0， x Rn , 等号当且仅当等号当且仅当 x = 0 时成立时成立(2) f( x) = | | f(x) ， x Rn , R (3

2、) f(x+y) f(x) + f(y) 则称则称 f 为为 Rn 上的（向量）范数，通常记为上的（向量）范数，通常记为 | | q 4向量范数向量范数11niixx n 常见的向量范数常见的向量范数12221niixx 1maxii nxx 无穷范数（最大范数）无穷范数（最大范数） 2-范数范数 EuclidEuclid范数。范数。 1-范数范数5范数性质范数性质n 范数的性质范数的性质(1) (1) 连续性连续性设设 f f 是是 R Rn n 上的任意一个范数，则上的任意一个范数，则 f f 关于关于 x x 的每个分量是连续的的每个分量是连续的(2) (2) 等价性等价性设设 | |

3、|s s 和和 | | |t t 是是 R Rn n 上的任意上的任意两个范数，则存在常数两个范数，则存在常数 c c1 1 和和 c c2 2 ，使得对，使得对任意的任意的 x x R Rn n 有有12stscxxcx6范数性质范数性质(3) Cauchy-Schwarz 不等式不等式(4) 向量序列的收敛性向量序列的收敛性( )lim*kkxx 22( , )x yxy( )lim*0kkxx7矩阵范数矩阵范数设函数设函数 f : Rn n R，若，若 f 满足满足(1) f(A) 0， A Rn n , 且且 f(A) = 0 A = 0(2) f( A) = | | f(A) ， A

4、 Rn , R (3) f(A+B) f(A) + f(B)(4) f(AB) f(A)f(B)则称则称 f 为为 Rn n 上的（矩阵）范数，通常记为上的（矩阵）范数，通常记为 | | n 矩阵范数矩阵范数8矩阵范数矩阵范数n 常见的矩阵范数常见的矩阵范数(1) F-范数范数 (Frobenious 范数范数)12211nnijFijAa (2) 算子范数算子范数 (从属范数、诱导范数从属范数、诱导范数)其中其中 | | 是是 Rn 上的任意一个范数上的任意一个范数10supmaxnxx RxAxAAxx 9算子范数算子范数111maxnijj niAa n 常见的算子范数常见的算子范数2(

5、)TAA A 无穷范数（行范数）无穷范数（行范数） 2-范数（谱范数）范数（谱范数） 1-范数（列范数）范数（列范数）11maxniji njAa ,max)()(21nAAA的谱半径，即为10算子范数算子范数例例求矩阵求矩阵A A的各种常用范数的各种常用范数110121021A解解:1Aniijnja11max25234252 ,5 ,2max1njAnjijnia11max42 ,4 ,3max1ni2A)(maxAAT由于由于11的特征值因此先求AATAAT110121021110122011211190102特征方程为特征方程为)det(AAIT2111901020的特征值为可得AAT

6、9361. 0,9211. 2,1428. 9321121428. 9)(maxAAT2A)(maxAAT0237. 3FA)(AAtrT2926056. 31AA2AFA容易计算容易计算计算较复杂计算较复杂对矩阵元素的对矩阵元素的变化比较敏感变化比较敏感不是从属范数不是从属范数较少使用较少使用性质较好性质较好13矩阵范数性质矩阵范数性质n 矩阵范数的性质矩阵范数的性质(1) (1) 连续性：连续性：设设 f f 是是 R Rn n n n 上的任一矩阵范数，则上的任一矩阵范数，则 f f 关于关于 A A 的每个分量是连续的的每个分量是连续的(2) (2) 等价性：等价性：设设 |s s 和

7、和 |t t 是是 R Rn n n n 上上的任意两个矩阵范数，则存在常数的任意两个矩阵范数，则存在常数 c c1 1 和和 c c2 2 ，使，使得对任意的得对任意的 A A R Rn n n n 有有12stscAAcA14定理：定理：（相容性条件）相容性条件）设设 | | 是是 Rn 上的任一向量上的任一向量范数，其对应的算子范数也记为范数，其对应的算子范数也记为 | | ，则有，则有算子范数性质算子范数性质AxAxn 算子范数的性质算子范数的性质定理：定理：设设 | | 是任一算子范数，则是任一算子范数，则( )AA 15算子范数性质算子范数性质定理：定理：设设 | | 是任一算子范

8、数，若是任一算子范数，若 |B| 1 ，则，则 IB 非奇异，且非奇异，且 111IBB 定理：定理： (特征值上界特征值上界) ) 设设则则即即 A A 的谱半径不超过的谱半径不超过 A A 的任何一种算子范数的任何一种算子范数. . nnRAAA )(16 定理：定理：设设 , , 则则 的充要条件的充要条件是是B B的谱半径的谱半径( )1B0()kBk n nBR17病态矩阵病态矩阵考虑线性方程组考虑线性方程组 AxAx= =b b，如果，如果 A A 或或 b b 的的微小微小变化变化会导致解的会导致解的巨大巨大变化，则称此线性方程组是变化，则称此线性方程组是病态病态的，的，并称矩阵

9、并称矩阵 A A 是是病态病态的，反之则是的，反之则是良态良态的。的。n 病态矩阵病态矩阵例：例：1211211.00012xx 1220 xx 122.00011211.0 010 1xx 1211xx 18定理：定理：考虑线性方程组考虑线性方程组 Ax=b，设，设 A 是精确的，是精确的，b 有有微小微小的变化的变化 b，此时的解为，此时的解为 x + x ，则，则1AbxbAx 病态矩阵病态矩阵响的扰动对方程组解的影常数项b. 119设方程组设方程组 AXAX= =b b+ +b b 的解为的解为即即 ()A XXbb- -得得 A Xb即即 1XAb于是有于是有1XAb另一方面，由另一