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1、双曲线提高训练题（含详细答案）X21. 2011 银川一中月考与椭圆-+ y2= 1 共焦点且过点 P（2,1）的双曲线方程是（）x2A. 4y2=1C.x2x2B.X2 y2= 1D . x2近=12x22. 2011 山东省实验中学二模如图 K49 1,已知点 P 为双曲线 点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，IF1F2成立，则入的值为（）54A8 B.543% D.4169=1右支上一IPF1F2的内心，若 SAIPFLSAIPF2+ 入途图 K49 1A. .2 B. ,3C2/31C.2D.5+ 124. 2011 佛山一检已知双曲线a2-各1(a0，b0） 与抛物线 y2= 8
2、x 有一个公共的焦C.mD.7,+m46. 2010 天津卷=1（a0, b0）的一条渐近线方程是y= . 3x,它的点 F，且两曲线的一个交点为P,若|PF|= 5，则双曲线的渐近线方程为（）A . x 3y= 0 B. ,3xy= 0C. x i2y = 0 D. 2x（= 0 x25. 2010 福建卷若点 O 和点 F（ 2,0）分别是双曲线 乏y3= 1（a0）的中心和左焦点,a点P为双曲线右支上的任意一点，则OPFP 的取值范围为（）A.32 ,3,s） B.3+2 3,+）曲线一个交点为 p,且/ PF1F2=n，则双曲线的渐近线方程为62 211.双曲线x2古=1(a0, b0
3、)的左、右焦点分别为 F1, F2,过 F1作直线交双曲线的a b左支于 A, B 两点，且|AB|=口，则厶 ABF2的周长为 _.2 212._ 2011 全国卷已知 F1、F2分别为双曲线 C:； 27= 1 的左、右焦点，点 A C, 点 M 的坐标为(2,0), AM 为/ F1AF2的平3 2010 宁卷设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该一个焦点在抛物线x2y2dA - = 136108八2y2_d10836y2= 24x 的准线上，则双曲线的方程为(Bx2y2B.9x2y2D. - y= 127927=17. 2010 课标全国卷已知双曲线 E
4、 的中心为原点， B 两点，且 AB 的中点为 N( 12, 15),2B.X-4x2I 与 E 相交于 A,2-=1F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 则E 的方程式为()x2込x2C.6- =1D.x5-4 =1 b2= 1(a0, b0)的一个焦点，经过F，则该双曲线的离心率为()、x2&已知抛物线 y2= 2px(po)的焦点 F 为双曲线 J 两曲线交点的直线恰过点A. 2 B. 1 + -C. 39. 点=90且厶 F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A. - B. 3 C. 4 D. 510.已知双曲线孑一 y2= 1 左、右焦点分别为 F1、F2,过
5、点 F2作与 x 轴垂直的直线与双D . 1 + 3P 在双曲线上x2v2孑b2=1(a0,b0)上，F1, F2是这条双曲线的两个焦点，/F1PF2x2已知双曲线厂a分线，则|AF2|=_.x2y2、13.2011 辽宁卷已知点(2,3)在双曲线 C:孑一卡=1(a0, b0)上，C 的焦距为 4,则它的离心率为_ .14.(10 分)2011 湖北八校一联如图 K49 -,已知双曲线 x2 y2= 1 的左、右顶点分 别为 A1、A2,动直线 I: y= kx+ m 与圆 x2+ y2= 1 相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 P1(X1, y1), P2(X2, y2).(1)求 k
6、 的取值范围，并求 X2 X1的最小值；记直线 P1A1的斜率为 k1,直线 P2A2的斜率为 k2,那么 k1k2是定值吗？证明你的结论.图 K49 215. (13 分)已知两定点 Fi( 2, 0), F2(2, 0)，满足条件|PF2|PFi|= 2 的点 P 的轨 迹是曲线 E,直线 y= kx 1 与曲线 E 交于 A, B 两点.如果|AB|= 6,3，且曲线 E 上存在点 C,使示 + O)B = mO)C，求 m 的值和 ABC 的面积 S.x2v216.(12 分)2011 黄石调研已知双曲线-21(a0, b0)的右顶点为 A，右焦点为 F ,a b直线 x=貴 c= .
7、a2+ b2)与 X 轴交于点 B,且与一条渐近线交于点C,点 0 为坐标原点，又 oAc=2(0B , OA 0C= 2，过点 F 的直线与双曲线右支交于点M、N,点 P 为点 M 关于 x 轴的对称点.(1)求双曲线的方程；证明：B、P、N 三点共线;(3)求厶 BMN 面积的最小值.x2一1.B 解析椭圆 4 + y2= 1 的焦点坐标是(土 3, 0).设双曲线方程为41b0).因为点 P(2,1)在双曲线上，所以 孑一 b2= 1, a2+ b2= 3，解得 a2= 2, b2= 1，所以所求 x2的双曲线方程是号y2= 1.2.B 解析根据 SAIPF1= SAIPF2+ 入 IF
8、1F2,即 |PF1|= |PF2|+ 入 F1F2I,即 2a= ?2c,即=-=c羊=1(a0,3.45.kFB= 而对应与之垂直的渐近线的斜率D 解析设 F 为左焦点，结合图形可知b,则有ba-=1,即 b2= ac= c2 a2,整理得 c2 ac a2= 0,两边都除以 a2可 a得 e2 e 1 = 0,解得 e=15，由于 e1，故 e=1；54.B解析F(2,0)，即 c=2,设 P(X0, y),根据抛物线的定义x+ 2 = 5,得 x= 3,924l代入抛物线方程得 y2= 24,代入双曲线方程得 孑b4= 1，结合 4 = a2+ b2,解得 a= 1,b = , 3,
9、故双曲线的渐近线方程是 ，3x 却=0.【能力提升】5.B解析因为 F( 2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2+ 1 = 4，即 a2= 3,所以双2/2曲线方程为y2= 1设点 P(X0, y0)，则有才一 y2= 1(X0Q3)，解得 y2=詈一 1(X03).因、,- -ox04x2为 FP =(X0+ 2, y0), OP= (X0, y)，所以 OP FP = X0(x+ 2) + y2= X0(X0+ 2) + 1= 亍 + 2x01，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为X0= 3，因为 X0.3,所以当 X0= .3 时，OPFP 取得最小值 4X3+ 2 3 1= 3+ 2
10、3,故 OPFP 的取值范围是3 + 2,3,+ ).6.B 解析抛物线 y2= 24x 的准线方程为 x= 6,则在双曲线中有 a2+ b2= ( 6)2x2y2ba2= 9,=36，又双曲线 X2 = 1 的渐近线为 y= 3x, ._= 3，联立解得2所a2b2Yab2= 27,为 k=以双曲线的方程为7. B 解析x2y2设 A(X1, y1), B(X2, y2),双曲线方程为x2占=1. AB 过 F , N,.斜率a bkAB= 1. x2yi=1-a2b2=1，又 a2+ b2= 9,. a2= 4, b2= 5. y22= 1,.两式相减，得a bxi X2xi+x2yi y
11、2yi+ y22=0 ,. 4 b2a2b2=5a2,B解析设双曲线的一个焦点坐标为 根据题意C2占a b=4cx,故 e=C= 5.a2h?h?2 b?b2b?b10. y= 2x 解析根据已知|PFi| =且|PF2| = ，故=2a，所以 p= 2，- =aa a aa a2.|AF2| |AFi|= 2a,11.4a+ 2m 解析由？|AF21+ |BF2|-(|AFi|+|BFi|)= 4a,又|AFi|BF2| |BFi|= 2a+ |BFi|= |AB|= m,A|AF2|+ |BF2|= 4a +口.则厶 ABF2的周长为 |AF21+ |BF2|+ |AB|= 4a + 2m
12、.鬻=齢 2 又|AFi|AF2|=6,故|AF2|= 6.x2y24 9解析方法一：点(2,3)在双曲线 C：孑一 y2=i上，则孑一2=又由于2c=4,4 9 =i所以 a2+ b2= 4解方程组a b得 a = i 或 a = 4.由于 a0, m2+ixix2=迄二 y 0, k2i， iki，故 k 的取值范围为(一 i,i).2mk由于 Xi+ X2=2,i k-2, 2 2 22X2 xi=xi+ X22 4xix2=2=2，N|i k2| i k2 OWk2i .当 k2= 0 时，X2 xi取最小值为 2 2.由已知可得 Ai, A2的坐标分别为(一 i,0), (i,0),
13、 ki= , k2= ,Xi+ iX2 i.,一w-kik2=xi+ i X2 ixi+ i X2 ik2xiX2+ mk xi+ X2+ m2XiX2+ X2 xi i2m2+ i , 2mk2k2_7 mk ; + m2k2 ik2 im2+ i 2 .2 彳12.613.2解析 根据角平分线的性质,C= 2.a方法二： 双曲线的焦距为4,到两焦点的距离之差的绝对值为2,双曲线的两焦点分别为Fi( 2, 0), F2(2,0)，点(2,3)c即 2a = 2 , a= i,离心率 e= 2.ayiy2k2 ik2 iim2k2+ k22m2k2+ m2k2 m2k2 m2由，得 m2 k2
14、= 1,1kik2= (3 + 2 弋 2)为定值.15.解答由双曲线的定义可知，曲线E 是以 Fi( 2, 0), F2(2,线的左支，且 c = J2, a= 1，易知 b = 1,故曲线 E 的方程为 x2 y2= 1(x0,2kX1+ x2= 120 ,又/ |AB|=1+ k2|x1 X2|=,1 + k2,=1 + k2X1+ X2 4X1X2，2k2 2/ 12-4X百？=2；1+k2 2k2=.1 k22,/ 1+k2o_k2依题意得 21十;一 $2k= 6,3，整理后得28k4 55k2+ 25= 0, k2=5或 k2= 4 又-2k气=1,m mm= 4,C 点的坐标为
15、(一，5, 2), C 到 AB 的距离为上52+2得 m = 4,0)为焦点的双曲解得，2k0 ,所以 t23 ,16.解答(1)由题意得a=2a解得a2= 4,a3= 2c,c2= 16, b2= c2-a2= 12,.双曲线方程为 -忙=1.412证明：由(1)可知得点 B(1,0)，设直线 I 的方程为：x= ty+ 4,2 2X-乂=1,由 412可得(3t2- 1)y2+ 24ty+ 36= 0.x= ty+ 4,设M(x1, y1), N(X2, y2)，则 P(X1,- y,-24ty1+y2=3?-r,TT所以36(X1 1 , - y1), BN =(X2 1 , y2),
16、y1y2= k,因为(X1 1)y2+ y1(x2 1) = X1y2+ y1X2 y1y=2ty1y2+ 3(y1+ y2)1181 + t26 迈 p3 + 3t20BMN= IBFIIy1 y2|= |3t21| =13t2, 令 u = 1 3t2, u (0,1,双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）(c,0)，则 p = c, 即 p = 2c,抛物线方程为y2=1, y2= 4cc,消掉 y 得晋=1,即 J(b24a2)= a2b2，即 c2(c25a2) = a2(c2 a2),即 c4 6a2c2+ a4= 0,即 e46e2+ 1 = 0,解得 W=632= 3+ 2 2,故 e= 1 + .2.9. D 解析不妨设 |PF1|, |PF2|, |F1F2| 成等差数列，贝 U4C2=|PF1|2+|PF2|2，由 2|PF2| =2c + |PF11,且|PF2| |PF1|= 2a,解得 |PF1|= 2c 4a, |PF2|= 2c 2a,代入 4c2= IPF1 f+ |PF2|2, 得 4C2=(2C2a)2+ (2c 4a)2，化简整理得 c2 6ac+ 5a2= 0，解得 c= a(舍去)或者 c= 5a,m2+ i 2 2 k2+ i= m2 k2+ 22、2，由 u (0,1,所以丄 1 ,+8),u
