双曲线知识点总结例题.
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1、（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若|PF1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准
2、方程 3.双曲线的性质 （1）焦点在x轴上的双曲线标准方程 x,y的范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（1） 焦点在y轴上的双曲线 标准方程 x,y的范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1. 等轴双
3、曲线：特点实轴与虚轴长相等渐近线互相垂直离心率为 2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点有共同的渐近线四焦点共圆 双曲线的共轭双曲线是 6.双曲线系（1） 共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)（2） 共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程【例2】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF
4、1|·|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【例3】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程2待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线1有共同渐近线的双曲线方程可表示为t(t0)；若双曲线的渐近线方程是y±x，则双曲线的方程可表示为t(t0)；与双曲线1共焦点的方程可表示为1(b2ka2)；过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为1(mn0)；与椭圆1(ab0)有共同焦点的双曲线方程可表示为1(b2
5、a2)例4、求下列条件下的双曲线的标准方程(1)与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3，2)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)1.在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.2若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2ny21(mn0)，以避免分类讨论考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程例5、(12
6、分)双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使·0，求此双曲线离心率的取值范围例6、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线1(a0，b0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|3|PF2|，则该双曲线的离心率e的取值范围是_【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ） A.e> B.1<e< C.1<e< D.e>【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A B C. D【评
7、注】解题中发现PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.渐近线双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例9】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚
8、轴的位置. 共轭双曲线 虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例10】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.设而不求与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：【例11】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. B. C. D. “设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不
9、求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例12】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：练习1(2011安徽高考)双曲线2x2y28的实轴长是( )A2 B2 C4 D42(2011山东高考)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A.1 B.1 C.1 D.13.(2012嘉兴测试)如图，P是双曲线y21右支(在第一象限内)上的任意一点，A1，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点
10、，直线PA1，PO，PA2的斜率分别为k1，k2，k3，则斜率之积k1k2k3的取值范围是( )A(0,1) B(0，) C(0，) D(0，)4(金榜预测)在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线1上，则为( )A. B. C. D.5P为双曲线1的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为( )A6 B7 C8 D96(2012南宁模拟)已知点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.1 B.1 C2 D27方程1表示双曲线那
11、么m的取值范围是_8(2012大连测试)在双曲线4x2y21的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|·|OB|15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是_9双曲线1(a0，b0)的离心率是2，则的最小值是_10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(3,0)，一条渐近线的方程是 x2y0.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围11(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若
