泊松过程及维纳过程

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1、一、独立增量过程一、独立增量过程二、泊松过程的数学模型二、泊松过程的数学模型三、维纳过程的数学模型三、维纳过程的数学模型泊松过程及维纳过程.,(0, )()(, 0),(上上的的增增量量为为随随机机过过程程在在区区间间称称随随机机变变量量给给定定二二阶阶矩矩过过程程tstssXtXttX .0),(,)()(,),()(),()( ,011201210为为则则称称相相互互独独立立个个增增量量和和任任意意选选定定的的正正整整数数如如果果对对任任意意选选定定的的 ttXtXtXtXtXtXtXnttttnnnn独立增量过程独立增量过程特征特征: 在互不重叠的区间上在互不重叠的区间上, ,状态的增量

2、是相互状态的增量是相互独立的独立的. .一、独立增量过程.)0()()(,0)0(布确定布确定的分的分分布函数族可以由增量分布函数族可以由增量独立增量过程的有限维独立增量过程的有限维的条件下的条件下在在tssXtXX 当增量具有平稳性时当增量具有平稳性时, ,称相应的独立增量过程称相应的独立增量过程是是齐次的齐次的或或时齐的时齐的.则称则称增量具有平稳性增量具有平稳性.,)()()()(,0具具有有相相同同的的分分布布和和和和如如果果对对任任意意的的实实数数sXtXhsXhtXhthsh .,)()(,本本身身和和而而不不依依赖赖于于布布函函数数只只依依赖赖于于时时间间差差的的分分那那么么增增

3、量量如如果果增增量量具具有有平平稳稳性性ststsXtX 独立增量过程的协方差函数独立增量过程的协方差函数 CX (s, t ).)(,0)0(已已知知方方差差函函数数设设tDXX . )()()(ttXtYX 记记;)(,)(也也具具有有独独立立增增量量具具有有独独立立增增量量时时当当tYtX).()()(, 0)(, 0)0(2tDtYEtDtYEYXY 有有时时当当因因此此,0,ts )()(),(tYsYEtsCX )()()()(0()(sYsYtYYsYE )()()()(0()(sYsYtYYsYE )()()()0()(2sYEsYtYEYsYE ).(sDX 表示为表示为数数

4、协方差函数可用方差函协方差函数可用方差函对任意对任意因此因此,0, ts).,(min(),(tsDtsCXX 1. 问题的提出问题的提出下列事件随时间的推移迟早会重复出现下列事件随时间的推移迟早会重复出现. .(1) 自电子管阴极发射的电子到达阳极自电子管阴极发射的电子到达阳极; ;(2) 意外事故或意外差错的发生意外事故或意外差错的发生; ;(3) 要求服务的顾客到达服务站要求服务的顾客到达服务站. .二、泊松过程的数学模型2. 问题的分析与求解问题的分析与求解将电子、顾客等看作时间轴上的质点将电子、顾客等看作时间轴上的质点, ,电子到电子到达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质达阳极

5、、顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现点出现. .因此研究的对象可以认为是因此研究的对象可以认为是随时间推移随时间推移,陆陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的质点流质点流., 0(0, )(出出现现的的质质点点数数时时间间轴轴上上内内表表示示在在时时间间间间隔隔用用tttN .,0),(称称为为续续的的随随机机过过程程、时时间间连连是是一一个个状状态态取取非非负负整整数数 ttN计计数数过过程程计数过程的一个典型样本函数计数过程的一个典型样本函数.,(,0, )()(),(0000内出现的质点数内出现的质点数间隔间隔表示在时间表示在时间记记

6、tttttNtNttN 的概率为的概率为随机事件随机事件),(0kttN ., 2, 1 , 0,),(),(00 kkttNPttPk的的假假设设对对)(tN(1) 在不相重叠的区间上的增量具有独立性在不相重叠的区间上的增量具有独立性. .,)2(t 对于充分小的对于充分小的),(1),(),(1tottttNPtttP .)(0的的强强度度称称为为过过程程常常数数tN ,)3(t 对对于于充充分分小小的的)(),(),(22tojtttNPtttPjjj . 0)0()4( N. 0),(4)(1)(2)(3)(作作称称的的计计数数过过程程满满足足条条件件 ttN的泊松过程的泊松过程强度为

7、强度为 . ,21称称作作点点出出现现的的随随机机时时刻刻相相应应的的质质点点流流或或质质tt的泊松流的泊松流强度为强度为 210),(),(1),(kktttPtttPtttP增量的分布律增量的分布律所以根据假设有所以根据假设有由于由于,1),(00 kkttP. )(1tot 概率的计算概率的计算. ),(,000ttPt先先计计算算时时当当 0),(),(000 tttNPtttP0),(),(0 tttNttNP,0),(, 0),(0 tttNttNP0),(, 0),(),(000 tttNttNPtttP0),(0),(0 tttNPttNP),(1),(00totttP ),(

8、),(),(),(000000totttPttPtttP ,)(),(),(),(000000ttottPtttPtttP 取取极极限限得得微微分分方方程程令令,0 t).,(d),(d0000ttPtttP , 0),(00 ttN因为因为利用初值条件求解微分方程可得利用初值条件求解微分方程可得. ,e),(0)(000ttttPtt . 1),(0 kttPk再再计计算算),(),(),(00ktttNttNPktttNP kjjkttNPjtttNP00),(),(. 1),(000 ttP所所以以 kjjkjttPtttP00),(),(),(),(),(),(220totttPttP

9、tttPjjkjjkj ,2时时因因为为当当 k kjjkjkttPtttPtttP000),(),(),(所所以以).1( ),(),()( ),()(1010 ktottPtotttPtotkk 将此式进行整理后可得将此式进行整理后可得),(1),(),( ),(),(),(),(01001000tottPttPtttPtttPttPtttPkkkkkk 差差分分方方程程取取极极限限得得微微分分令令两两边边除除以以 , 0,tt. ),(),(d),(d00100ttttPttPtttPkkk . 1 , 0),(, 0),(0000 kttPttNk所所以以因因为为的表达式可得的表达式可

10、得利用初值条件和利用初值条件和令令),(, 100ttPk . ,e )(),(0)(0010ttttttPtt 可得可得利用初始条件和利用初始条件和令令),(),(, 20100ttPttPk . ,e2)(),(0)(20020ttttttPtt 如此重复如此重复, ,一般地可得到一般地可得到., 1 , 0, ,e!)( ),(),(0)(0000 kttkttkttNPttPttkk 结论结论.;,)()()(),(0000立立增增量量过过程程的的泊泊松松过过程程是是齐齐次次的的独独度度为为强强有有关关且且只只与与时时间间差差的的泊泊松松分分布布为为的的概概率率分分布布是是参参数数增增