第三章复习 (2)

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1、第三章 集合与关系(1). 组织结构是明确的，但是内容比较多组织结构是明确的，但是内容比较多(2). 集合、直积、关系这些概念是简单的集合、直积、关系这些概念是简单的(3). 主要难点在于：复合、闭包和特殊关系主要难点在于：复合、闭包和特殊关系 （等价关系、相容关系、序关系）（等价关系、相容关系、序关系）习题习题3-1(p86)（6）确定）确定下列集合的幂集下列集合的幂集a) a,a b) 1,2,3解答：解答：a) a,a, a,a, b) , 1,2,3这种题目通常通过这种题目通常通过|P(A)|=2|A|来计算幂来计算幂集中元素的个数，然后验证解答是否正集中元素的个数，然后验证解答是否正

2、确，抓住这个，我们可以计算难题确，抓住这个，我们可以计算难题习题习题3-1(p86)（6）确定下列集合的幂集）确定下列集合的幂集d) P() e) P(P() (习题习题)解答：解答：d) 没有元素，所以没有元素，所以|P()|=20 =1， P() = ，P(P() = , (21)e) P(P(P() = P(P()=P(,) = , , (22)习题习题3-1(p86)(7) 设设A=, B= P(P(A)。问：。问：a) 是否是否 B ？是否是否 B ?b) 是否是否 B ？是否？是否 B ？c) 是否是否 B ? 是否是否 B ? 解答：由上题得到：解答：由上题得到： P(P() =

3、 , , 所以所以a) B ， B ；b) B , B ; c) B, B (拆括号法拆括号法) 习题习题3-2(p95)(5) 证明：证明： 对任意集合对任意集合A，B，C，有，有a) (A - B) - C = A - (BC)证明：证明：x (A - B) C x (A - B) x C x A x B x C x A x (BC) x A - (BC)所以所以 (A - B) - C = A - (BC)习题习题3-2(p95)8. a) 已知已知AB = AC，是否必须，是否必须B=C ？ b) 已知已知A B = A C，是否必须，是否必须B=C ？ c) 已知已知A B = A

4、C，是否必须，是否必须B=C ？a). A=1,2 , B=3, C=2,3为反例为反例b). A=1,2, B=1, C=2为反例为反例c). A B = A C A A B =A A C B= C B=C习题习题3-2(p95)a) A (B C) = (A B) (A C)左边左边= A (B-C)(C-B) = A(BC)(C B) = (ABC) (ABC)右边右边= (AB) (AC)(AC) (AB) = (ABA) (ABC) (ACA) (ACB) = (ABC) (ABC)习题习题3-3(p100)(5)A1: 学数学，学数学，A2：学物理，：学物理，A3：学生物：学生物

5、|A1|=67, |A2|=47, |A3|=95|A1 A3|=26, |A1 A2|=28, |A2 A3|=27N = 200， |(A1A2A3)|=50又又|A1A2A3|=|A1|+|A2|+|A3|- |A1 A3|- |A1 A2|- |A2 A3|+|A1 A2A3 |所以所以200-50 = 67+47+95-26-28-27+ |A1 A2A3|， 因此因此|A1 A2A3|=22习题习题3-4(p105)(3) 下列各式中哪些成立？哪些不成立？为下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？什么？b) (A B)(C D) = (AC) (BD)d) (A B)C = (AC

6、) (BC)b) A = 1 ,2 , B = 1, C =1,2, D =1(A B)(C D) = (AC) (BD) = ,习题习题3-4(p105)d) (A B)C (x A x B y C )(x A y C y C )(x A y C ) (x B y C ) AC BC (AC ) (BC)所以所以(A B)C = (AC) (BC)习题习题3-4(p105)(4) 证明：若证明：若XX = YY，则，则X=Y证证：（：（1） XX，则，则 YY，所以，所以xY，X Y；（2）反之，设）反之，设 YY,则则 XX，y X，Y X；所以所以X=Y 习题习题3-5(p110)(5)

7、 对式中所给出对式中所给出A上的二元关系，试给出上的二元关系，试给出关系图关系图 |0 x y 3，A=0,1,2,3,4R = , , , , , , , , , ,习题习题3-5(p110)(6) 对对0,1,2,3,4,5,6上的二元关系，上的二元关系，|xy x是质数是质数，写出关系矩阵。，写出关系矩阵。解：解：R =, , , , , , , , ,R011111100111111111111M = 1111111000001111111110000000习题习题3-5(p110)(7)设设P=,和和Q=,找出找出PQ , P Q , dom P, domQ ran P, ran Q

8、, dom(P Q), ran(P Q)解：解： PQ =,PQ = , domP = 1,2,3, domQ=1,2,4ran P=2,3,4, ran Q = 2,3,4dom(P Q )=2, ran(P Q)=4习题习题3-6(p113)(1) 分析集合分析集合A=1,2,3上的下述五个关系。上的下述五个关系。R=,S=,T=,判断判断A中的上述关系是不是中的上述关系是不是a)自反的，自反的，b)对称对称的，的，c)可传递的，可传递的，d)反对称的。反对称的。解答：（解答：（1）R满足反对称性和传递性；满足反对称性和传递性；（2）S满足自反、对称和传递性满足自反、对称和传递性（3）T满

9、足反对称性。满足反对称性。,破坏传递破坏传递习题习题3-6(p113)(2)给定给定A=1,2,3,4,考虑考虑A上的关系上的关系R，若，若R = ,a) 在在AA的坐标图中标出的坐标图中标出R，并绘出它的，并绘出它的关系图；关系图；b)R是自反的，对称的，可传递的，是自反的，对称的，可传递的，反对称的吗？反对称的吗？解答：解答：1234可传递的，可传递的，反对称反对称的的习题习题3-6(p114)(6)设设R是集合是集合X上的一个自反关系。求证：上的一个自反关系。求证：R是是对称和传递的，当且仅当对称和传递的，当且仅当和和在在R之之中则有中则有在在R之中。之中。证明：（证明：（1）若）若R是

10、对称是对称的的，则由，则由和和在在R中，因此中，因此,在在R中，中，R是传递的，是传递的，因此因此在在R中，由对称，中，由对称，在在R中；（中；（2）a,b,c任意，任意，a取取c，、和和在在R中，中，故故R对称；因此由对称；因此由在在R中知道中知道在在R中，中，,在在R中，推出中，推出R传递。传递。习题习题3-7(p118)(1)设设R1和和R2是是A上的任意关系，说明以下命上的任意关系，说明以下命题的真假，并予以证明题的真假，并予以证明a) 若若R1和和R2是自反的是自反的,则则R1R2也是自反的也是自反的c) 若若R1和和R2是对称的是对称的,则则R1R2也是对称的也是对称的解答：解答：