线性规划 凸集凸函数

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1、 凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面给出凸集和凸函数的一些基本知识。给出凸集和凸函数的一些基本知识。定义定义1 设设 ，若对，若对D中任意两点中任意两点 与与 ，连接，连接 与与 的线段仍属于的线段仍属于D；换言之，对；换言之，对 ， D，0,1恒有恒有 +(1- ) D则称则称D为为凸集凸集。 + (1- ) 称为称为 和和 的的凸组合凸组合。nRD ) 1 (x) 2 (x) 1 (x) 2 (x ) 1 (x) 2 (xa a ) 1 (xa a) 2 (xa a) 1 (xa aa a) 2 (x) 1 (x) 2 (x

2、例例 (i) 超平面超平面 为凸集。为凸集。 b b= = =xPxTH定义为定义为(ii) 半空间半空间 为凸集。为凸集。 b b = =- -xPxTH定义为定义为 (iii) 射线射线 为凸集，其中为凸集，其中d为为给定的非零向量，给定的非零向量， 为定点。为定点。0,)0( + += = =l ll ldxxxL)0(x(iv) 超球超球 是凸集。是凸集。xr (v) 欧式空间欧式空间 是凸集，规定空集是凸集，规定空集 是凸集是凸集nR 凸集的性质凸集的性质有限个凸集的交集仍然是凸集。有限个凸集的交集仍然是凸集。 设设 是凸集，则是凸集，则 是凸集。是凸集。12,kD DD12kDDD

3、设设 是凸集，则是凸集，则 是凸集。是凸集。D |,Dy yx xDbbbb=凸集的和集仍然是凸集。凸集的和集仍然是凸集。 设设 是凸集，则是凸集，则 是凸集。是凸集。12,D D1212|,DDy yxz xD zD+=+=+推论：设推论：设 是凸集，是凸集， ，则，则 也是凸集，也是凸集， 其中其中 。iD1kiiiDb b= = iRb b 1,2,ik= =定义定义3 3 极点（顶点）极点（顶点）：设设D D为凸集，为凸集，XD,XD,若若X X不能用不能用X X(1)(1)D,XD,X(2)(2)DD两点的两点的 一个凸组合表示为一个凸组合表示为X=XX=X(1)(1)+ (1-)X