材料力学第三章_扭转

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1、第三章第三章 扭扭 转转 31 扭转的概念扭转的概念32 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图33 薄壁筒扭转薄壁筒扭转34 圆截面杆扭转的应力及强度条件圆截面杆扭转的应力及强度条件35 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件36 矩形截面杆自由扭转矩形截面杆自由扭转37 薄壁杆扭转薄壁杆扭转 31 扭转的概念扭转的概念 直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA扭转：扭转： （两端面相对转过的角度）（两端面相对转过的角度） ，剪切角也

2、称，剪切角也称。32 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图mmmTx一、扭矩一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的矩称为截面的，用，用表示之。表示之。 扭矩的正负号按扭矩的正负号按来确定，即右手握住杆的轴线，来确定，即右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩的转向，若拇卷曲四指表示扭矩的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭矩为正，指沿截面外法线指向，扭矩为正，反之为负。反之为负。mTx扭矩的大小由平衡方程求得。扭矩的大小由平衡方程求得。, 0; 0mTmxmT 二、扭矩图二、扭矩图 各截面的扭矩随荷载而变化，

3、是截面坐标的函数，表示各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数，表示各截面扭矩的图象称为各截面扭矩的图象称为。 扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下：扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下： 扭矩图的画法步骤：扭矩图的画法步骤： 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； 将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点；将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点； 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。 按大小比例

4、和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。侧，并在图上表出数值和正负号。例例1 画图示杆的扭矩图画图示杆的扭矩图3kN.m5kN.m2kN.m解：解：11223kN.mT1ABCAC段：段：0mmkNTT.3; 0311BC段：段：0mmkNTT.2; 02222kN.mT2扭矩图扭矩图3kN.m2kN.m - 扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传递功率和转数来换算。通过传递功率和转数来换算。三、外力偶矩换算三、外力偶矩换算m)(N9550nPm其中：P 功率，千

5、瓦（kW） n 转速，转/分（r/min） 若传动轴的传递功率为若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为每分钟转数为n ，则每分钟则每分钟功率作功：功率作功：PW60力偶作功：力偶作功：nmW2nPm260例例2 已知：一传动轴转数 n =300r/min，主动轮输入功率 P1=500kW，从动轮输出功率 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.55

6、55944.nP.m112233求扭矩（扭矩按正方向假设）求扭矩（扭矩按正方向假设）mkN78. 4 , 0 , 02121mTmTmmkN56. 9)78. 478. 4( 322mmTnA B C Dm2 m3 m1 m40; 0212mmTmmkN37. 6 , 0 , 04343mTmTm绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。nA B C Dm2 m3 m1 m44.78kN.m9.56kN.m6.37kN.mm,kN 56. 9maxT扭矩图扭矩图例例画图示杆的扭矩图。画图示杆的扭矩图。3m2m2mmkN.4mkN.6mkN.8mkN.61m _扭矩图扭矩图mkN.4m

7、kN.6mkN.233 薄壁筒扭转薄壁筒扭转薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；两端施加一对外力偶两端施加一对外力偶 m。2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。 纵向线变成螺旋线。纵向线变成螺旋线。3.结果：结果： 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，

8、此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。二、薄壁筒切应力二、薄壁筒切应力 tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0为平均半径所作圆的面积。为平均半径所作圆的面积。 薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的，只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。切应力沿圆周切线

9、，方向与扭矩转向一致。Tacddxb dy tz三、切应力互等定理：三、切应力互等定理： dxdytdxdytmz ; 0 这就是这就是：在单元体相互垂直的两个截面：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为。acddxb dy tz 单元体单元体ab 的倾

10、角的倾角 称为称为，切应变是切应变是单元体直角的改变量。实单元体直角的改变量。实验表明，在弹性范围内，切应力与验表明，在弹性范围内，切应力与切应变成正比，即切应变成正比，即G 这就是这就是，比例常数，比例常数G 称为称为。 剪切弹性模量剪切弹性模量G 、与弹性模量与弹性模量E 和泊松比和泊松比 一样，都一样，都是是表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。 根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，就可求

11、出第三个来。就可求出第三个来。)1 (2EG3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察一、等直圆杆扭转实验观察1. 横截面变形后仍为平面，满足平面假设；横截面变形后仍为平面，满足平面假设；2. 轴向无伸缩，横截面上没有正应力；轴向无伸缩，横截面上没有正应力；二、等直圆杆扭转横截面上的切应力二、等直圆杆扭转横截面上的切应力Rdxdx1o2o2o1oAABBCDDCabdcBCCcbd 变形的几何条件变形的几何条件横截面上横截面上b 点的切应变：点的切应变：dxddxbbdxd其中其中 为单位长度杆两端面相对扭转角，称为单位长度杆两端面相对扭转角，称B 物理条件物理