第2章 控制系统的数学模型
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1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1 2.1 引言引言2.2 2.2 建立系统的时域数学模型建立系统的时域数学模型2.3 2.3 非线性系统的线性化非线性系统的线性化2.4 2.4 微分方程求解微分方程求解2.5 2.5 建立系统的复域数学模型建立系统的复域数学模型2.6 2.6 系统的典型环节及传递函数系统的典型环节及传递函数2.7 2.7 系统方框图系统方框图2.8 2.8 系统信号流图系统信号流图2.9 2.9 利用利用MATLABMATLAB求解系统的传递函数求解系统的传递函数 2.1 引引 言言 1.1.定义定义 控制系统的数学模型：控制系统的数学模型：是描述系统
2、内部物理量（或变量）是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。有静态数学模型、之间关系的数学表达式。有静态数学模型、动态数学模型动态数学模型。 2.2.建立数学模型的目的建立数学模型的目的 建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。作（或基础工作）。 3.3.建模方法建模方法 分析法分析法对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律和化学规律列写运动方程。据的物理规律和化学规律列写运动方程。 实验法（系统辨识）实验法（系统辨识）人为施加某种测试信号，记录其人为施加某
3、种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型逼近。输出响应，并用适当的数学模型逼近。4.4.常用数学模型常用数学模型时域时域数学模型：数学模型：微分方程、差分方程微分方程、差分方程、状态方程、状态方程复域复域数学模型：数学模型：传递函数、结构图传递函数、结构图频域频域数学模型：数学模型：频率特性频率特性15:08:41微分方程（时域）系统系统传递函数（复域）频率特性（频域）LFts1F1Lsjsj数学模型之间的关系如图所示。数学模型之间的关系如图所示。2.1 引引 言言2.2 2.2 建立系统的时域数学模型建立系统的时域数学模型微分方程的列写步骤微分方程的列写步骤 1 1）确定系统的输入、输
4、出变量；）确定系统的输入、输出变量；2 2）从输入端开始，根据各元件所遵循的规律写出各微分）从输入端开始，根据各元件所遵循的规律写出各微分方程方程, ,得到微分方程组；得到微分方程组；3 3）消去中间变量，得到描述输出变量与输入变量间关系）消去中间变量，得到描述输出变量与输入变量间关系的微的微分方程；分方程； 4 4）变换成标准形式。）变换成标准形式。 输出输出及其各阶导数在方程及其各阶导数在方程左侧左侧，输入输入及其各阶导数及其各阶导数在方程在方程右侧右侧，并按，并按降阶排列降阶排列。【例例2-12-1】RLCRLC电路如图所示，电路如图所示，试列写以试列写以ui(t)为输入量，为输入量，u
5、o(t)为输出量的网络微分方程。为输出量的网络微分方程。2.2.1 2.2.1 电路系统举例电路系统举例解解: :)()()()(00220221tutudttduTdttudTTi式式中中: :RCTRLT21, 123iiii11uuiRo2d()duuiCto32uuiRooi21dduuuCtRR 解解: :根据电路有根据电路有【例【例2-22-2】试求如下图所示有源电路的输入电压与输出】试求如下图所示有源电路的输入电压与输出电压之间的关系。电压之间的关系。 代入整理，并考虑代入整理，并考虑0uu得得2.2.1 2.2.1 电路系统举例电路系统举例)(1)()()()()()()()(
6、)()()(2222222tFKtydttdyTdttydTtFtKydttdyfdttydmdttydmdttdyftKytFfM2.2.2 2.2.2 机械力学系统举例机械力学系统举例 解解: :分析：本系统由三个基本无源元件组成：分析：本系统由三个基本无源元件组成：质量质量m、弹簧、弹簧k 和阻尼器和阻尼器f。首先要掌握三。首先要掌握三种元件的力学性质和作用，并列出三种元种元件的力学性质和作用，并列出三种元件在系统中存在的阻碍运动的力，根据力件在系统中存在的阻碍运动的力，根据力学定理有：学定理有： 【例【例2-32-3】 弹簧弹簧质量质量阻尼器串联系统，如图所示。试列阻尼器串联系统，如图
7、所示。试列出以外力出以外力F(t)为输入量，以质量的位移为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的微分为输出量的微分方程。方程。其中其中kfTkmTfM,2 为时间常数为时间常数, , 为该系统的传递函数。为该系统的传递函数。 k1 TM ，Tf 的单位均为秒。因此，该系统是二阶常系数线性的单位均为秒。因此，该系统是二阶常系数线性微分方程。微分方程。 2.2.2 2.2.2 机械力学系统举例机械力学系统举例 【例【例2-42-4】 试列写如下图所示的电枢控制的直流电动机微分试列写如下图所示的电枢控制的直流电动机微分方程。方程。 2.2.3 2.2.3 机电系统举例机电系统举例 解解: :aaaa
8、aaUEiRdtdiL由于激磁磁通不变，电枢反由于激磁磁通不变，电枢反电势电势与转速成正比与转速成正比: : eakE 式中，式中，ke为电势系数（伏为电势系数（伏/ /弧度弧度/ /秒），由电动机结构参数确定。秒），由电动机结构参数确定。 电机轴上机械运动方程电机轴上机械运动方程: :dtdJMMLDgGDJ422GD 转动惯量（计算到电机转动惯量（计算到电机轴上，公斤轴上，公斤. .米米 秒秒2 2）飞轮转矩，（公斤飞轮转矩，（公斤. .米米2 2）ML 负载转矩（公斤负载转矩（公斤. .米）米） MD 电动机转矩（公斤电动机转矩（公斤. .米）米） aEaemmaUkdtdTdtdTT1
9、22电磁转矩方程可写为：电磁转矩方程可写为： MD=kmia 式中，式中，mk是转矩系数，由电动机结构参数确定。是转矩系数，由电动机结构参数确定。 对上面的式子进行联立求解对上面的式子进行联立求解, ,得得: :dtdMkkLMkkRUkdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeaema122 若不考虑电动机的负载转矩若不考虑电动机的负载转矩, ,得得 aaaRLT meamkkJRT （秒），（秒），为电磁时间常数，为电磁时间常数，（秒），（秒），是电动机的机电时间常数。是电动机的机电时间常数。 2.2.3 2.2.3 机电系统举例机电系统举例 aemmaLmaLmaemmaUkn
10、dtdnTdtndTTdtdMGDTTMGDTUkndtdnTdtndTT1375/375/12222 若系统的输入量不变，输出量是电动机转速若系统的输入量不变，输出量是电动机转速n(n(转转/ /分分) )，则系统地微分方程为，则系统地微分方程为: : 2.2.3 2.2.3 机电系统举例机电系统举例 【例2-6】 随动系统如图2-7所示。图中为输入量， 为输出量，ML为扰动输入量，建立系统的数学模型。2.2.4 2.2.4 系统举例系统举例电位器组 放大器 发电机励磁绕组电路的方程 发电机的电动势 代入上式电动机 ，力学方程 ，)(11 ku122uku 21uRidtdiTfffffff
11、RLT fffikE23ukEdtdETfffffRkk 3aaaaafiRdtdiLEEeakE amDikMdtdJMMLD2.2.4 2.2.4 系统举例系统举例 由上四式消去 , 这3个变量 传动机构 消去4个系统内部变量 就可得 aEDMai)(122LLameafemmaMdtdMTkkREkdtdTdtdTT4kdtd)()()(22443214321223344LLfaLfameaeefmmfmafmaMdtdMTTdtMdTTkkkRkkkkkkkkkkdtddtdTTdtdTTTTdtdTTT,21fEuu2.2.4 2.2.4 系统举例系统举例实际的物理系统中，完全的线性
