线性代数同济第五版答案

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1、萧澜第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1);解=2(-4)3+0(-1)(-1)+118-013-2(-1)8-1(-4)(-1)=-24+8+16-4=-4. (2);解=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-a3-b3-c3. (3);解=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a). (4).解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3

2、4; 解逆序数为0(2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32.(3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 (2n-1) 2 4 (2n); 解 逆序数为:3 2 (1个)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, (2n-1)(2n-2)(n-1个)(6)1 3 (2n-1) (2n) (2n-2) 2. 解 逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个

3、)(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, (2n-1)(2n-2)(n-1个)4 2(1个)6 2, 6 4(2个)(2n)2, (2n)4, (2n)6, (2n)(2n-2)(n-1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 含因子a11a23的项的一般形式为(-1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11

4、a23a34a42.4.计算下列各行列式:(1);解.(2);解 .(3);解 .(4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 5.证明: (1)=(a-b)3;证明=(a-b)3. (2);证明. (3);证明(c4-c3,c3-c2,c2-c1得)(c4-c3,c3-c2得). (4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);证明 =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn-1+an-1x+an.证明 用数学归纳法证明.当n=2时,命题成立. 假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即D

5、n-1=xn-1+a1xn-2+an-2x+an-1,则Dn按第一列展开, 有=xDn-1+an=xn+a1xn-1+an-1x+an. 因此,对于n阶行列式命题成立.6.设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转,依次得,证明,D3=D. 证明因为D=det(aij),所以. 同理可证.7.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):(1), 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0; 解(按第n行展开) =an-an-2=an-2(a2-1).(2);解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得,再将各列都加到第一列上,得=x+(n-1)a(x-a)n-

6、1.(3); 解 根据第6题结果, 有此行列式为范德蒙德行列式.(4); 解 (按第1行展开). 再按最后一行展开得递推公式D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2.于是 .而,所以 .(5) D=det(aij),其中aij=|i-j|; 解 aij=|i-j|,=(-1)n-1(n-1)2n-2.(6), 其中a1a2an0.解 .8.用克莱姆法则解下列方程组:(1); 解 因为,所以 ,.(2). 解 因为,所以,.9.问l,m取何值时,齐次线性方程组有非零解？ 解 系数行列式为. 令D=0,得m=0或l=1.于是, 当m=0或l=1时

7、该齐次线性方程组有非零解.10.问l取何值时,齐次线性方程组有非零解？ 解 系数行列式为 =(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l)=(1-l)3+2(1-l)2+l-3. 令D=0, 得l=0,l=2或l=3.于是, 当l=0,l=2或l=3时,该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知线性变换:,求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.解由已知:,故 ,.2.已知两个线性变换,求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.解由已知,所以有.3.设, 求3AB-2A及ATB.解,.4.计算下列乘积:(1);解.(2);解 =(13+22

8、+31)=(10).(3);解 .(4);解 .(5);解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3). 5.设, 问:(1)AB=BA吗?解ABBA. 因为, 所以ABBA.(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗? 解 (A+B)2A2+2AB+B2. 因为,但 ,所以(A+B)2A2+2AB+B2.(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗? 解 (A+B)(A-B)A2-B2. 因为,而 ,故(A+B)(A-B)A2-B2. 6.举反列说明下列命题是错误的:(1)若A2=0, 则A=0; 解 取, 则A2=0, 但A0

9、.(2)若A2=A,则A=0或A=E; 解 取, 则A2=A,但A0且AE.(3)若AX=AY,且A0,则X=Y. 解 取,则AX=AY,且A0,但XY.7.设,求A2,A3,Ak.解,.8.设,求Ak.解首先观察,. 用数学归纳法证明: 当k=2时,显然成立. 假设k时成立，则k+1时，,由数学归纳法原理知:.9.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.证明因为AT=A, 所以(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,从而BTAB是对称矩阵.10.设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证明充分性:因为AT=A,BT=B,

10、且AB=BA, 所以(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,即AB是对称矩阵.必要性: 因为AT=A,BT=B, 且(AB)T=AB, 所以AB=(AB)T=BTAT=BA. 11.求下列矩阵的逆矩阵: (1);解. |A|=1,故A-1存在.因为,故. (2);解. |A|=10,故A-1存在.因为,所以. (3);解. |A|=20,故A-1存在.因为,所以. (4)(a1a2an0) .解,由对角矩阵的性质知. 12.解下列矩阵方程:(1);解 .(2); 解 .(3); 解 .(4). 解 .13.利用逆矩阵解下列线性方程组: (1); 解 方程组可表示为,故 ,从而有 . (2).

11、解 方程组可表示为,故 ,故有 . 14.设Ak=O(k为正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1.证明 因为Ak=O, 所以E-Ak=E. 又因为E-Ak=(E-A)(E+A+A2+Ak-1),所以 (E-A)(E+A+A2+Ak-1)=E,由定理2推论知(E-A)可逆, 且(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1.证明一方面, 有E=(E-A)-1(E-A).另一方面, 由Ak=O, 有E=(E-A)+(A-A2)+A2-Ak-1+(Ak-1-Ak)=(E+A+A2+Ak-1)(E-A),故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+Ak-1)(E-A),两端同时右乘(E-A)-