可数集合(实变函数)

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1、Real Analysis数学科学与技术学院数学科学与技术学院 曹丽霞曹丽霞临沂师范学院数学系 临沂师范学院数学系课题引入课题引入 第三节中，将有限集合“元素个数”的概念推广到无限集合,通过在集合间建立一一映射,引入了集合的基数的概念. 大家比较熟悉、比较重要的三数集-自然数集合N、有理数集Q和实数集合R都是无限集合.它们给我们直观的印象:自然数集合N “稀稀拉拉”排列在数轴上，有理数集Q“密密麻麻”排列在数轴上，实数集合R“密不透风”地构成实数直线，即数轴. 那么，它们的基数有什么不同么？ 下面我们将在第四节和第五节，对这些常见的无限集合的基数和运算作较为详尽的讨论.临沂师范学院数学系注：注

2、：A可数可数当且仅当当且仅当 A可以写成无穷序列的形式可以写成无穷序列的形式a1, a2, a3, 1, 2, 3, 4, 5, 6,：与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为 a.2) 0,1上的有理数全体1 1( )nnf na a1, a2, a3, a4, a5, a6, 0,1,1 2,1 3,2 3,1 4,2 4,3 4,1 5,1) 0,1, 1,2, 2,3, 3, Z 临沂师范学院数学系临沂师范学院数学系*A则 中的元素必是上述序列的一个无穷子序列：:中的元素可以排列成是一个可数集，则证明：设AA,321naaaa*AA若是 的有限子集，得证；,321knnnn

3、aaaa是可数集。从而,321*knnnnaaaaA *AA若是 的无限子集，临沂师范学院数学系推论推论 设设 (1,2,3,)iA in是有限集或可数集是有限集或可数集,则则 1niiA也是有限集或可数集也是有限集或可数集,但如果至少有一个时，但如果至少有一个时， 1niiA可数集。可数集。 必为必为它们均为可数集。临沂师范学院数学系. , 则*,BBA CCA令 *,AB且且*,ABABACAC 但B*作为B的子集仍为有限或可数集(定理2), 这样就归结到(1)的情形了.证毕.*AC临沂师范学院数学系1nnA1 11 21 31 4,aaaa，2 12 22 32 4,aaaa，3 13

4、23 33 4,aaaa，4 14 24 34 4,aaaa，,，证明证明:临沂师范学院数学系)1, 2()2 , 1 ()0 , 1()1 , 0 (QQQQQ临沂师范学院数学系,| ),(ByAxyxBA( , )|x Ax yyB 临沂师范学院数学系,| ),(QrQyxryxQQQA1.平面上坐标为有理数的点全体所成的集为一可数集；平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A为可数集。临沂师范学院数学系元素 12( ,)kn nn是由 k个正整数所组成的,其全体成一可数集. 整系数多项式1011nnnna xa xaxa的全体是一可数集.事实上,先固定 n，由定理6，整系数的 ，由定理6，整系数的的全体是一可数集，再用定理4即得。n次多项式每个多项式只有有限个根，所以得下面的定理。每个多项式只有有限个根，所以得下面的定理。临沂师范学院数学系0nnPP为可数集（可数个可数集的并）110|,1,2, ,0nnnnninPa xaxaaZ in a0 (0)()nPZPZZZZnZ个 相乘 为可数集(n1)（有限个可数集作卡氏积）临沂师范学院数学系临沂师范学院数学系是可数集。而使得是一个无限集，则存在设*,AAAAAAA