测量与地图学3

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1、第二章地图的数学基础第二章地图的数学基础 3.地图投影的定义 球面上任一点的位置用地理坐标（、）表示，而平面上点的位置用直角坐标（x, y）或极坐标（r，）表示，所以要将地球球面上的点转移到平面上，必须采用一定的数学方法来确定地理坐标与平面坐标之间的关系。 这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。二、地图投影的基本方法二、地图投影的基本方法 1.几何投影（透视投影）：假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。地图投影面除平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光源除位于球心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等

2、。 利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫几何投影或几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平面矛盾的方法。2.数学解析法：随着科学的发展，几何透视法远不能满足编制各类地图的需要，出现了解析法。解析法是不借助于几何投影光源（而仅仅借助于几何投影的方式），按照某些条件用数学分析法确定球面与平面点与点之间一一对应的函数关系。 X=f1(、) Y=f2(、) 函数f1、f2的具体形式，是由给定的投影条件确定的。有了这种对应关系，就可把球面上的经纬网交点表示到平面上了。 球面上任意一点的位置决定于它的经纬度，实际投影时是先将一些经纬线的交点展绘在平面上，再将相同经度的点连成经线，相同纬度

3、的点连成纬线，构成经纬线网。地图投影的实质是将地球椭球面上的经纬网按一定的数学法则转移到平面上。经纬线网是绘制地图的“基础”，是地图的主要数学要素。三、地图投影的变形三、地图投影的变形 1.地图投影变形的概念 由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，无论采用什么投影，投影后经纬网形状与球面上的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发生了变形，而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物也必然发生了变形。为正确使用地图，必须了解投影后产生的变形，所以变形问题是地图投影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布规律，具有重大的实际应用价值。 地球仪上的经纬线网格面积的特点： 1、在同一纬度带内，经

4、差相同的球面网格面积相等 2、在同一经度带内，纬度愈高，网格面积愈小 地球仪上的经纬线角度的特点： 在下图中，只有中央经线和各纬线相交成直角，其余的经线和纬线均不呈直角相交，而在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交，这表明地图上有角度变形 2.投影变形的相关概念 （1）变形椭圆 在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除在接触点位置外，一般情况下为椭圆， 下面我们用数学方法验证一下。 设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度（为1），M(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为： x2+y2=1 A位于以经纬线为直角坐标轴X、Y的坐标系上 ，X、Y为投影后坐标轴，A(x，y)是A(x

5、，y)的投影，令经线长度比为m，纬线长度比为n，则: x/x=m，y/y=n x=x/m，y=y/n (x,y)为圆上一点，将其代入圆的方程，得：x2/ m 2+y2/ n 2=1这是一个椭圆方程，这就证明了椭球体面上的微小圆，投影后为椭圆。故叫做变形椭圆。 研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，说明变形性质和数量。 椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长短半径方向之间，长度比，为b 1 经线长度比 1 库德（Goode）投影 美地理学家古德（J.Paul Goode）于1923年提出在整个制图区域主

6、要部分中央都设置一条中央经线，分别进行投影，则全图就分成几瓣，各瓣沿赤道连接在一起。投影特点： 分瓣、组合投影， 变形减小且均匀 大陆完整，大洋割裂 大洋完整，大陆割裂 常用于编制世界地图五、高斯五、高斯-克吕格投影克吕格投影 高斯-克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影。它是假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线东、西各3或1.5经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，然后将椭圆柱面展开成平面即成。 投影的特点： 高斯-克吕格投影的中央经线和赤道为垂直相交的直线，经线为凹向对称于中央经线的曲线，纬线为凸向对称于赤道的曲线，经纬线成直角相交。 无角度变形；中央经线长

7、度比等于1，没有长度变形；其余经线长度比均大于1，长度变形为正；距中央经线越远，变形越大；最大变形在边缘经线与赤道的交点上，但最大长度、面积变形分别仅为+0.14和+0.27（6带），变形极小。 为控制投影变形，高斯-克吕格投影采用6带、3带分带投影的方法 ，我国1：2.5万-1：50万地形图均采用6带投影，1：1万及更大比例尺地形图采用3带投影。 6分带法规定：从格林威治零度经线开始，由西向东每隔6为一个投影带，全球共分60个投影带，分别用阿拉伯数字1-60予以标记。我国位于东经72-136之间，共包括11个投影带（13-23带）。 3分带法规定：从东经130起算，每3为一带，全球共分120

8、带，（下图）表示了6分带与3分带的中央经线与带号的关系 该投影的平面直角坐标规定为：每个投影带以中央经线为坐标纵轴即轴，以赤道为坐标横轴即轴组成平面直角坐标系。为避免值出现负值，将轴西移500km组成新的直角坐标系，即在原坐标横值上均加上500km，因我国位处北半球，值均为正值。60个投影带构成了60个相同的平面直角坐标系，为区分之，在地形图南北的内外图廓间的横坐标注记前，均加注投影带带号。为应用方便，在图上每隔1km、2km或10km绘出中央经线和赤道的平行线，即坐标纵线或坐标横线，构成了地形图方里网（公里网）。 中国国家基本比例尺地形图中的大中比例尺地形图采用高斯-克吕格投影： 11万（3

9、分带） 12.5万、15万、110万、125万、150万。（ 6分带）百万分一地形图投影 新编国际百万分一地图采用双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4分带，北纬84以北和南纬80以南采用等角方位投影。中国1100万地形图编绘规范规定采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的双标准纬线等角割圆锥投影,按纬差4分带。长度变形最大值: 0.03% 面积变形最大值: 0.06%双标准纬线圆锥投影假想圆锥轴和地球椭球体旋转轴重合并套在椭球体上圆锥面与地球椭球体面相割，将经纬网投影于圆锥面上展开而成。 我国现编的1:100万地图系采用双标准纬线正轴等角圆锥投影双标准纬线圆锥投影 变形分析：无角度变形 等变

10、形线和纬线一致,同 一条纬线上的变形处处相等 两条标准纬线上无变形 在同一条经线上，两标准 纬线外侧为正变形，之间为 负变形 同一条纬线上等经 差的线段长度相等，两条纬 线间的经线线段长度处处相等六、地图投影判别与选择六、地图投影判别与选择 1、地图投影的判别 (1)确定投影系统 (2)确定投影变形性质 (3)确定投影形式 2、地图投影的选择 地图投影将直接影响地图的精度和使用价值。通常地图投影对中小比例尺地图影响很大，对于大比例尺地图，则影响很小。一般国家基本比例尺地形图的地图投影选择是由国家测绘部门制订，不允许随便更改。 地图投影的选择主要考虑以下因素：制图区域的范围、形状和地理位置；地图的用途、出版方式及地图图面配置等。 地图投影选择的主要依据是目标区域的地理位置、轮廓形状、地图用途。世界地图常采用正圆柱、伪圆柱和多圆锥三种类型。大洲图和大的国家图投影选择必须考虑轮廓形状和地理位置。圆形地区一般采用方位投影；制图区域东西向延伸又在中纬度地区时，一般采用正轴圆锥投影。 按照用途，行政区划图、人口密度图、经济地图一般要求面积正确，因此选用等积投影；航海图、天气图、地形图，要求有正确的方向，一般采用等角投影；对各种变形要求都不大的，可选用任意投影。 Thank you!