第六章 弯曲变形1

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1、12第六章第六章 弯曲变形弯曲变形61 引言62 梁的挠曲线近似微分方程63 积分法计算梁的变形64 叠加法计算梁的变形65 梁的刚度计算66 简单超静定梁的求解弯曲变形小结弯曲变形小结36 61 1 引言引言4一、挠曲线：梁变形后的轴线。一、挠曲线：梁变形后的轴线。 性质：性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。二、挠度：横截面形心沿垂直于二、挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。轴线方向的位移。 用用 “ “w w” 表示。表示。w w =w =w（x x） 挠曲线方程。挠度向上为正；向下为负。挠度向上为正；向下为负。三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用三、转角：横截面绕中性轴

2、转过的角度。用“ ” ” 表示。表示。=(x)=(x)转角方程。由变形前的横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。逆时针为正；顺时针为负。四、挠度和转角的关系四、挠度和转角的关系w w =w =w（x x）上任一点处wxwdxdwtg)(wtgw w C 1xCwPABF56 62 2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程一、曲率与弯矩的关系：一、曲率与弯矩的关系：EIMr1EIM)()(1xxr（1）二、曲率与挠曲线的关系：二、曲率与挠曲线的关系：232)(1)(1wwx rwx )(1r（2）三、挠曲线与弯矩的关系三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得wx EIM)(

3、)(xwM EI6wxM00)( xw挠曲线近似微分方程的近似性挠曲线近似微分方程的近似性忽略了“Fs”、 对变形的影响。2)(w使用条件：使用条件：弹性范围内工作的细长梁。M00)( xw)(xwM EI结论：挠曲线近似微分方程结论：挠曲线近似微分方程wx7)()(xMxwEI 1)()(CdxxMxwEI21)()(CxCdxdxxMxEIw 积分法计算梁的变形积分法计算梁的变形步骤步骤：（EI为常量）1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。0Aw0Bw0Dw0 D 右右左左CC 连续条件

4、：连续条件：右右左左CCww 边界条件：边界条件：DPFPABCF8（1 1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。（2 2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。（3 3）、在弯矩方程分段处：）、在弯矩方程分段处： 一般情况下一般情况下稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。4、确定挠曲线方程和转角方程 。5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。9EIFLLw3)(3例：例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( ( EI=EI

5、=常数）常数）。解一：解一：建立坐标系并写出弯矩方程)()(xLFxM写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数)()(xLFxMwEI 12)(21CxLFwEI213)(61CxCxLFEIwFLwxx322161 ; 21FLCFLC确定挠曲线、转角方程3233)(6)(LxLxLEIFxw22)(2LxLEIFwEIFLL2)(2自由端的挠度及转角X=0, w=0 ; =010解二：解二：建立坐标系并写出弯矩方程)()(xLFxM写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数)()(FxFLxMwEI 1221CFxFLxwEI213262CxCFxFLxEIwX=0, w=0 ; =

6、0确定挠曲线、转角方程3236)(xLxEIFxw222xLxEIFwEIFLLww3)(3maxEIFLL2)(2max最大挠度及转角0 ; 021CCFLwxx11qLABxC解：解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数确定挠曲线和转角方程最大挠度及最大转角ql/2ql/2)(222)(22xlxqqxxqlxM21431322)126(2)32(2)(2CxCxlxqEIwCxlxqwEIxlxqwEI X=0 , w=0 ; x=L , w=0 . 例：例：求图示梁的最大挠度和最大转角 （EI=常数）)46(24)2(24323323xlxlEIqwxl

7、xlEIqxw0,24231CqlCEIqlEIqlwBALx2438453max42max12bABFaCL解：解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程并积分Fb/LFa/L例：例：求图示梁的跨中的挠度和转角 （EI=常数）x1x2)()()(22211axFxLFbxMxLFbxM左侧段（0 x1a）：右侧段（ax2L）：11131112111162DxCxLFbEIwCxLFbwEIxLFbwEI 222323222222222226)(62)(2)(DxCaxFxLFbEIwCaxFxLFbwEIaxFxLFbwEI 13跨中挠度及转角确定挠曲线和转角方程应用位移边界条件和连续条件求积

8、分常数X=0 , w=0 ; x=L , w=0 . X1=X2=a ，w1=w2 ；w1=w20);(6212221DDbLLFbCC2122112122116)(66xbLLEIFbwxbLLEIFbxw)(31)(2)()(62222222222232322bLxaxbLLEIFbwxbLxaxbLLEIFbw2222424);43(4822bLLEIFbwbLEIFbwLLxxLEIaLFabLEIbLFabBA6)(;6)(两端支座处的转角两端支座处的转角14讨论：讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。、此梁的最大挠度和最大转角。 LEIbLFabxwA6)(00max111max1

9、左左侧侧段：段： 右右 侧侧 段：段：LEIaLFabLxwB6)(0max222max2 当当 ab 时时LEIaLFabB6)(max3221max1221max)(393)2(301blLEIFbwwaxbaabLxwwxx当当 ab 时时最大挠度一定在左侧段最大挠度一定在左侧段15 2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。时此梁的最大挠度和最大转角。EIFLwwEIFLLxCBA48;163max2max2ABFCLab写出下列各梁变形的写出下列各梁变形的边界条件和连续条件边界条件和连续条件.,; 02121CCCCBEBAwwLww1C截面稍左截面稍左2C截面稍右截面稍右ABFCL/

10、2L/2EABC.; 0; 0, 021CCBAAwwww166 64 4 叠加法计算梁的变形叠加法计算梁的变形1 1、载荷叠加：、载荷叠加：2 2、结构形式叠加（逐段刚化法）：、结构形式叠加（逐段刚化法）：)()()()(221121nnnFFFFFF )()()()(221121nnnFwFwFwFFFw 一、前提条件：弹性、小变形。一、前提条件：弹性、小变形。二、叠加原理：梁上有几个（几种）荷载共同作用的变形等于每二、叠加原理：梁上有几个（几种）荷载共同作用的变形等于每 个荷载（每种）荷载单独作用产生的变形的代数和。个荷载（每种）荷载单独作用产生的变形的代数和。三、叠加法计算的两种类型：

11、三、叠加法计算的两种类型：17aaFaaq=+例例：叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.解解、载荷分解如图、由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。EIFaEIFLwFC64833EIFaEIFLFA41622EIqaEIqLwqC245384544EIqaEIqLqA32433aaqFA AC CA18)6245(34EIFaEIqawwwqAFACqAFAA)43(122qaFEIa、叠加q q 0 00 0. .5 5L L0 0. .5 5L LA AB BC C例：例：叠加法求C点挠度.解解、载荷无限分解如图载荷无限分解如图、查梁的简单载荷变形表，查梁的简单载荷变形表，dbL