《离散数学》课件：7-4有理域上的多项式

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1、结论结论1 任意有理系数多项式和一个整系数多任意有理系数多项式和一个整系数多项式相通。项式相通。定义定义1 设设 (x)= a0 xn+a1xn-1+an是一个整系是一个整系数多项式，若系数数多项式，若系数a0,a1,an互质，则称互质，则称(x)是一个是一个本原多项式本原多项式。结论结论2 任意整系数多项式与一个本原多项式任意整系数多项式与一个本原多项式 相通。相通。结论结论3 任意有理系数多项式与一个本原多项任意有理系数多项式与一个本原多项式相通式相通。 定理定理7.4.1 设设p是一个质数，是一个质数， (x)= a0 xn+a1xn-1+an g(x) = b0 xm+b1xm-1+b

2、m是两整系数多项式。是两整系数多项式。若若 p整除整除(x)g(x)的所有系数，则的所有系数，则p或整除或整除(x)的的所有系数或整除所有系数或整除g(x)的所有系数。的所有系数。证明：证明： 反证法。反证法。假定假定p不整除不整除(x)的所有系数也的所有系数也不整除不整除g(x)的所有系数。的所有系数。从右往左看从右往左看(x)和和g(x),设设ai ,bj是是(x)，g(x)的系的系数中第一个不为数中第一个不为p整除者。于是，整除者。于是， p不整除不整除ai，p ai+1，p an (1) p不整除不整除bj，p bj+1，p bm (2)观察观察(x)g(x)=(a0 xn+a1xn-

3、1+an)(b0 xm+b1xm-1+bm) =a0b0 xn+m-0 +(a0b1 +a1b0) xn+m-1 + ( + ai-1bj+1 +aibj + ai+1bj-1 + ) xn-i+m-j + anbm(x)g(x)中中xn-i+m-j的系数是的系数是aibj + ai+1bj-1 + ai+2bj-2 + + + ai-1bj+1 + ai-2bj+2 + 此式中，除此式中，除aibj外，其余各项由外，其余各项由(1)及及(2)都为都为p整除，整除，而由而由p不整除不整除ai，p不整除不整除bj， 又又p是一个质数，知，是一个质数，知，p不整除不整除aibj，故，故p不整除不整

4、除xn-i+m-j的系数，与题设的系数，与题设p整除整除(x)g(x)的所有系数矛盾。的所有系数矛盾。 定理定理7.4.2 设设(x)是本原多项式，是本原多项式，g(x)是整系数多是整系数多项式。若项式。若(x) g(x)，则以，则以(x)除除g(x)所得之商式所得之商式必是整系数多项式。必是整系数多项式。证明：证明：由由(x) g(x)知，有知，有 g(x) = (x)h(x)不论不论h(x)是否为整系数多项式，总可以取一个正是否为整系数多项式，总可以取一个正整数整数c使使k(x)=ch(x)是整系数多项式是整系数多项式,故，故，cg(x) = (x)k(x)此式表示以此式表示以c乘乘g(x

5、)的所有系数就是的所有系数就是(x)k(x)的所的所有系数，从而有系数，从而c整除整除(x)k(x)的所有系数。的所有系数。设设 c = p1p2pr 是是c的质因数分解式。则的质因数分解式。则p1p2pr g(x) = (x)k(x)因为因为p1 p1p2pr，故，故p1整除整除(x)k(x)的所有系数的所有系数,但但(x)是本原多项式，故是本原多项式，故p1整除整除k(x)的所有系数，的所有系数，从而从而k(x)=p1k1(x),其中其中k1(x)是整系数多项式。因是整系数多项式。因此有此有 p2pr g(x) = (x) k1(x)同理有同理有p2整除整除k1(x)的所有系数，如此下去，

6、消去的所有系数，如此下去，消去p1p2pr 最后得最后得g(x)=(x)kr(x)其中其中kr(x)是整系数多项式。但由是整系数多项式。但由g(x) = (x)h(x)，有有h(x)=kr(x)，故，故h(x)是整系数多项式。是整系数多项式。定理定理7.4.2 设设 (x)= a0 xn + a1xn-1 + + an是整系数多项式，若对一个质数是整系数多项式，若对一个质数p，p不整除不整除a0，p a1，p an，p2不整除不整除an，则则(x)在有理域上不可约。在有理域上不可约。例例.设设 (x)= x5+2x+2 ,因可找到质数因可找到质数2，2不整不整除除1，2 2，2 2，4不整除不

7、整除2，所以，所以 (x)在在有理域上不可约。有理域上不可约。例例.设设g(x)= 2x5+3x4-6 ,因可找到质数因可找到质数3，3不整不整除除2，3 3，3 -6，9不整除不整除-6，所以，所以g(x)在有理域上不可约。在有理域上不可约。证明：证明： 用反证法用反证法，假定，假定(x)有一个真因式有一个真因式(x)，因为因为(x)和一个本原多项式相通，不妨假定和一个本原多项式相通，不妨假定(x)本身就是本原多项式。故，本身就是本原多项式。故，(x)除除(x)所得所得的商式的商式(x)是整系数多项式。从而是整系数多项式。从而(x)可分解可分解为非常数的两个整系数多项式之积，即，为非常数的两

8、个整系数多项式之积，即，(x) =a0 xn + a1xn-1 + + an =(b0 xr + + br)(c0 xs + + cs) 于是有于是有a0 xn=b0c0 xr+s，an=brcs因为因为p不整除不整除a0，所以，所以p不整除不整除b0，p不整除不整除c0。因为因为p2不整除不整除an,所以所以br和和cs中至少有一个不为中至少有一个不为p整除整除,不妨设不妨设p不整除不整除cs。在在b0 xr + + br中从右往左看，设第一个不为中从右往左看，设第一个不为p整整除的系数为除的系数为bi。观察。观察(x) =a0 xn + a1xn-1 + + an =(b0 xr + +

9、br)(c0 xs + + cs) =b0c0 xr+s-0 +(b1c0 + b0c1) xr+s-1 + (bics + bi+1cs-1 + bi+2cs-2 +) xr+s-(i+s) + +br cs看看(b0 xr + + br)(c0 xs + + cs) 中中xr-i的系数：的系数： ai+s=bics + bi+1cs-1 + bi+2cs-2 + （*）因因ai+s a0，由题设，这个系数应为，由题设，这个系数应为p整除。但整除。但p不不整除整除bics，而（，而（*）中其余各项都为）中其余各项都为p整除，可见整除，可见p又不能整除这一系数，此为矛盾。又不能整除这一系数，此

10、为矛盾。 lNote:并不是每一个有理域上的多项式都可并不是每一个有理域上的多项式都可用用Eisenstein定则判定是否可约，定则判定是否可约，xn+x+1就就是一例。是一例。 l例例. 由由Eisenstein定则知，定则知，x2-2在有理域上不在有理域上不可约，所以可约，所以x2-2不可能有有理根，因而立即不可能有有理根，因而立即推出推出 是无理数。是无理数。 l例例.利用利用Eisenstein定则，可以写出许多在有定则，可以写出许多在有理域上不可约的多项式，例如理域上不可约的多项式，例如xn+2，x4+2x3-4x+10， xn+2x+2等。等。l定理定理7.4.4 对任意对任意n1