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1、上页下页结束返回首页第七章第七章 假设检验假设检验 统计推断的另一类重要问题是假设检验问统计推断的另一类重要问题是假设检验问题题. 在总体的分布函数类型已知，但参数未知在总体的分布函数类型已知，但参数未知或分布函数完全未知的情况下，为了推断总体或分布函数完全未知的情况下，为了推断总体的某些未知特性，需要提出某些关于总体的假的某些未知特性，需要提出某些关于总体的假设。设。例如，提出总体服从二项分布的假设，或例如，提出总体服从二项分布的假设，或者，对于正态总体提出数学期望等于者，对于正态总体提出数学期望等于 的假设的假设等，然后根据样本所提供的信息去检验所作的等，然后根据样本所提供的信息去检验所作
2、的假设是否合理假设是否合理. 经检验后，若假设合理，就接经检验后，若假设合理，就接受这个假设，否则就拒绝这个假设受这个假设，否则就拒绝这个假设. 这种首先这种首先提出假设，然后由样本信息来决策是否接受假提出假设，然后由样本信息来决策是否接受假设的过程称为假设检验设的过程称为假设检验.0 上页下页结束返回首页本章主要内容本章主要内容第一节第一节 假设检验概述假设检验概述第二节第二节 正态总体参数的假设检验正态总体参数的假设检验第三节第三节 两个正态总体参数相等的假设检验两个正态总体参数相等的假设检验重点介绍第一节重点介绍第一节和第二节和第二节上页下页结束返回首页一、三种典型问题一、三种典型问题:
3、 :已知总体的样本资料已知总体的样本资料, ,要求推断要求推断该总体的均值是否等于某值该总体的均值是否等于某值? ? 两总体的方差是否相等两总体的方差是否相等? ? 该总体的分布是否为某种分布该总体的分布是否为某种分布? ?0.497 0.506 0.518 0.524 00.497 0.506 0.518 0.524 0.448 .448 0,511 0.510 0.515 0.5120,511 0.510 0.515 0.512问这天包装机的工作是否正常问这天包装机的工作是否正常? ?问题问题1 1 某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖, ,额定标准为每袋额定标准为每袋
4、净重净重0.50.5公斤公斤. .设包装机称得的糖重服从正态分布设包装机称得的糖重服从正态分布, ,并知起并知起标准差标准差 =0.015(=0.015(公斤公斤).).某天开工后某天开工后, ,为检验包装机的工作为检验包装机的工作是否正常是否正常, ,速记抽取它包装的糖速记抽取它包装的糖9 9袋袋, ,称得净重为称得净重为: : 第一节第一节 假设检验概述假设检验概述总体的均值是否等总体的均值是否等于额定值于额定值 0.5 0.5 ？上页下页结束返回首页 问题问题2 2 在甲乙两台机床上加工同一种零件的外圆在甲乙两台机床上加工同一种零件的外圆( (公差要求相同公差要求相同),),现从它们加工
5、的产品中各抽取现从它们加工的产品中各抽取8 8件件, ,测得其外径如下测得其外径如下: :甲甲:10.28, 10.34, 10.45, 10.29, 10.247, 10.30:10.28, 10.34, 10.45, 10.29, 10.247, 10.30乙乙:10.30, 10.34, 10.36, 10.24, 10.38, 10.48,:10.30, 10.34, 10.36, 10.24, 10.38, 10.48,问它们的加工质量有无差别问它们的加工质量有无差别? ? 设设X X、Y Y分别表示甲乙机床加工零件的外径，分别表示甲乙机床加工零件的外径，问题为检验假设问题为检验假设
6、H H0 0: : “E(X)=E(Y)E(X)=E(Y)”吗吗? ?即两总体期望即两总体期望相等吗？相等吗？上页下页结束返回首页问题问题3 3 如测得总体如测得总体X X的一组样本值的一组样本值(x(x1 1,x,x2 2, ,x xn n),), 问问X X是否服从是否服从N(N( , , 2 2)?)?即检验假设即检验假设H H0 0: :“X X N( N( , , 2 2) )”是否成立是否成立假设检验假设检验: :从样本出发从样本出发, ,判断一种假设判断一种假设“H H0 0”是否是否成立的问题称为成立的问题称为假设检验假设检验问题问题. . 问题问题1 1、2 2是是参数检验参
7、数检验, ,问题问题3 3是是分布检验分布检验 所以假设检验按所以假设检验按检验对象分类检验对象分类可分为可分为参数检验参数检验和和非参数检验（我们只讲参数检验）非参数检验（我们只讲参数检验）假设检验假设检验就是对总体就是对总体X X作某种假设作某种假设，然后，然后依据样本数依据样本数据据，判定假设判定假设“H H0 0”是否成立是否成立的推断方法。的推断方法。上页下页结束返回首页假设检验的基本方法：假设检验的基本方法：类似于类似于反证法，反证法，但是带有概率性质，具体说就是为但是带有概率性质，具体说就是为了检验一个假设是否成立，先假定这个假设成立，了检验一个假设是否成立，先假定这个假设成立，
8、在此前提之下进行推导，看会得到什么结果，如果在此前提之下进行推导，看会得到什么结果，如果导致了一个不合理现象的出现，则表明假定该假设导致了一个不合理现象的出现，则表明假定该假设成立不正确，即原假设不能成立，此时，拒绝这个成立不正确，即原假设不能成立，此时，拒绝这个假设；如果没有导致不合理现象的出现，则接受这假设；如果没有导致不合理现象的出现，则接受这个假设，其中个假设，其中“不合理想象不合理想象”的标准是：的标准是：小概率原理小概率原理 可以认为在一次试验中小概率事件不可以认为在一次试验中小概率事件不会发生会发生. 在假设成立的前提下，如果小概率事件在在假设成立的前提下，如果小概率事件在一次试
9、验中竟然发生了，则实属反常，有理由怀一次试验中竟然发生了，则实属反常，有理由怀疑假设不成立疑假设不成立.上页下页结束返回首页引例引例1 1 某车间用一台包装机包装葡萄糖，额定标准为每袋净重某车间用一台包装机包装葡萄糖，额定标准为每袋净重0.50.5公斤。设实际袋重服从正态分布，且公斤。设实际袋重服从正态分布，且 =0.015=0.015。某天开工后，。某天开工后，随机抽取随机抽取9 9袋，称得净重为袋，称得净重为 0.497, 0.560, 0.518 ,0.524,0.489,0.511,0.510,0.515,0.512. 问包装机的工作是否正常问包装机的工作是否正常? ? 二、问题的引出
10、二、问题的引出 思考：思考：怎样算是怎样算是 “ “包装机的工作正常包装机的工作正常”？总体的均值是否等于总体的均值是否等于 0.5 0.5 ？平均袋重应当稳定在额定标准平均袋重应当稳定在额定标准！应应很很小小。样样本本均均值值的的偏偏差差0 X当当H H0 0为真时为真时如果如果0 X过分大过分大, ,则有理由则有理由 怀疑怀疑H H0 0的正确性的正确性，从而拒绝从而拒绝H H0 0分析分析记包装机所包装的糖的重量为记包装机所包装的糖的重量为X , X , 则则假设假设 H H0 0 ： = = 0 0=0.5=0.5 ，),(2 NX上页下页结束返回首页代入样本值，计算可得代入样本值，计
11、算可得96. 12 . 29015. 05 . 0509. 0 u小概率事件在一次试验中竟然发生了，小概率事件在一次试验中竟然发生了，因此，我们有理由认为，假设因此，我们有理由认为，假设H H0 0不真，而拒绝之。不真，而拒绝之。有理由认为包装机工作不正常。有理由认为包装机工作不正常。|U|1.96|1.96是一个概率很小的事件！是一个概率很小的事件！比如取比如取 =0.05，就有，就有509. 0 x当当H H0 0为真时为真时),(20 NXnXU 0 统统计计量量 2ZUP是是一一个个小小概概率率事事件件，2 ZU )1 ,0( N上页下页结束返回首页从而拒绝从而拒绝H H0 0，接受接
12、受H H1 1，即认为包装机的工作不正常。即认为包装机的工作不正常。临界值点临界值点解解:假设假设H H0 0 ： = = 0 0=0.5=0.5，记记H H1 1 ： 0 0=0.5=0.5，由于由于X XN(N( 0 0， 2 2),),故故检验统计量检验统计量对于给定的对于给定的 =0.05=0.05，检验水平检验水平有有P|P|U|z|z /2/2=1.96=1.96=0.05=0.05拒绝域拒绝域实际计算得实际计算得原假设原假设备择假设备择假设当当H H0 0为真时，为真时，)1 , 0(0NnXU 509. 0 x96. 12 . 29015. 05 . 0509. 0 u上页下页
13、结束返回首页说明接受域和拒绝域说明接受域和拒绝域/2/22Z2Z接受域接受域拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域上页下页结束返回首页原假设原假设: :是接受检验的假设是接受检验的假设, ,记作记作H0 0备择假设备择假设: :当原假设被否定时生效的另一种假设当原假设被否定时生效的另一种假设, ,记作记作H1 1. .也叫对立假设也叫对立假设注意注意: :原假设和备择假设是相互对立的原假设和备择假设是相互对立的. .原假设和原假设和备择备择假设统称为统计假设假设统称为统计假设.例如例如,关于总体平均值的假设有三种关于总体平均值的假设有三种: H0 : = 0 H1 : 0 H0 : = 0 H1 : 0 第
14、一种类型的假设第一种类型的假设检验称为检验称为双边检验双边检验,第二种为第二种为左边检验左边检验、第三种为第三种为右边检验右边检验.假设检验按拒绝域分类可分为假设检验按拒绝域分类可分为双边检验、左边检验双边检验、左边检验和右边检验和右边检验三、假设检验方法分析三、假设检验方法分析: :1、假设检验的一般方法假设检验的一般方法:上页下页结束返回首页 “弃真弃真”错误概率错误概率：两种易犯的错误两种易犯的错误P 拒绝拒绝H0 0| | H0 0为真为真 = = P U落入拒绝域落入拒绝域| | H0 0为真为真 = = 。 “纳伪纳伪”错误概率：错误概率：P P 接受接受H H0 0| |H H0
15、 0为假为假 = = P P U U没落入拒绝域没落入拒绝域| | H H0 0为假为假 大小没法确定！大小没法确定！n一定时一定时, ,其一减小必导致其一减小必导致另一个的增大另一个的增大 ; ; n充分大时充分大时, , 二者可同时减小二者可同时减小. .显著性检验显著性检验: :只控制只控制“弃真弃真”错误概率错误概率, , 而不考虑而不考虑“纳伪纳伪”错错误概率的检验误概率的检验. .显著性检验水平显著性检验水平: :显著性检验中显著性检验中“弃真弃真”错误概率的控制水平错误概率的控制水平 . .上页下页结束返回首页四、假设检验的一般步骤四、假设检验的一般步骤: : 提出假设：提出假设
16、：提出原假设提出原假设H H0.0.及备择假设及备择假设H H1 1 选择检验统计量：选择检验统计量：该检验统计量必须包含待检该检验统计量必须包含待检验的参数，且在原假设成立的条件下知其分布验的参数，且在原假设成立的条件下知其分布. . 确定拒绝域：确定拒绝域：根据根据显著性水平显著性水平 , ,即所允许犯第即所允许犯第一类错误的一类错误的概率概率, ,求出拒绝域求出拒绝域或临界点或临界点, ,并注意是并注意是单边检验还是双边检验单边检验还是双边检验. . 做出判决：做出判决：根据样本数据计算统计量的实测值根据样本数据计算统计量的实测值, ,将实测值与拒绝域对照将实测值与拒绝域对照, ,若实测
17、值落入拒绝域若实测值落入拒绝域, ,则则否定原假设否定原假设, ,否则接受原假设否则接受原假设. .上页下页结束返回首页一、均值一、均值的假设检验的假设检验二、方差二、方差2 2的假设检验的假设检验2.方差方差2未知的情况未知的情况1.方差方差2已知的情况已知的情况第二节第二节 单个正态总体参数的假设检验单个正态总体参数的假设检验上页下页结束返回首页1 、单个正态总体均值、单个正态总体均值 的检验的检验)05. 0( 8 . 0 0 .98 ),(2 N例例2 2 一种燃料的辛烷等级服从正态分布一种燃料的辛烷等级服从正态分布， 其平均其平均等级等级 , ,标准差标准差 , ,现抽取现抽取252
18、5桶新油，算得平均桶新油，算得平均等级为等级为97.797.7，假定标准差与原来一样，问新油的辛烷平均，假定标准差与原来一样，问新油的辛烷平均等级是否比原燃料的辛烷平均等级偏低等级是否比原燃料的辛烷平均等级偏低? ?05. 0 解解 按题意需在水平按题意需在水平 下下检验假设：检验假设：0 .9800 ：H01 ：H)1 , 0(0NnXU 2 因因已知，已知，取检验统计量取检验统计量 拒绝域（参阅表拒绝域（参阅表7-17-1）为）为 Zu 65. 105. 0 ZZ , ,即拒绝域为即拒绝域为65. 1,( 计算统计值计算统计值 nxu 0 875. 1258 . 0987 .97 作出统计
19、结论作出统计结论 65. 1875. 1 u故落在拒绝域，所以应拒绝故落在拒绝域，所以应拒绝0H，接受，接受H1即认为即认为新油的辛烷平均等级在给定水平下比新油的辛烷平均等级在给定水平下比原燃料的辛烷平均等级偏低原燃料的辛烷平均等级偏低上页下页结束返回首页例例3 3 某工厂所产某种产品的寿命某工厂所产某种产品的寿命X X( ( , , 2 2) ), ,在正常情况在正常情况 0 0=40, =40, 0 0=2=2. .技术革新后随机取产品技术革新后随机取产品2525件件, ,测得寿命均值为测得寿命均值为4040.75.75.设革新设革新 后方差没变后方差没变, ,问革新后产品质量是否较以前有
20、显著提高问革新后产品质量是否较以前有显著提高( ( =0.05)=0.05)？分析：分析：故假设故假设H0 0 : : = = 0 0=40=40；H1 1: : 0 0=40=40由于只考虑质量是否提高由于只考虑质量是否提高, ,所以是单边检验所以是单边检验. .)1 , 0(0NnXU 2 因因已知，已知，取检验统计量取检验统计量 拒绝域（参阅表拒绝域（参阅表7-17-1）为）为 Zu 65. 105. 0 ZZ , ,即拒绝域为即拒绝域为),65.1 计算统计值计算统计值 nxu 0 65. 1875. 12524075.40 所以拒绝所以拒绝H H0 0, ,而接受而接受H H1 1；
21、也就是说；也就是说, ,技术革新后技术革新后, ,产品的寿命在产品的寿命在水平水平 =0.05=0.05下下有了显著提高。有了显著提高。上页下页结束返回首页 2021 ：H2020 ：H2021 ：H2020 ：H2021 ：H2020 ：H与正态总体期望的假设检验类似，在水平与正态总体期望的假设检验类似，在水平 下，方差检验也有下，方差检验也有以下三种类型：以下三种类型： ， ， ， 二、单个正态总体方差的假设检验二、单个正态总体方差的假设检验0HX 不论总体不论总体的期望的期望是否已知，当是否已知，当为真时，均选择检验统计量为真时，均选择检验统计量),1(122202 nSn 双边检验情形
22、由于双边检验情形由于: 1)1()1(22221nKnP故方差故方差 的双边检验的拒绝域为的双边检验的拒绝域为2 )1()1(22221 nknk 或或右边检验和左边检验的拒绝域分别是右边检验和左边检验的拒绝域分别是),1(2 nk )1(21 nk 如下图如下图7所示：所示：上页下页结束返回首页检验法检验法.因检验统计量服从因检验统计量服从 分布，故此类分布，故此类检验法称为检验法称为2 2 上页下页结束返回首页,048. 0: 22020 H下下检检验验假假设设本本题题要要求求在在水水平平0.05)1( 05. 0 22048. 0 厘米，现随机抽取了厘米，现随机抽取了5 5个部件，测得它
23、们的个部件，测得它们的048.0048. 0 例例4 4 某公司生产的发动机部件的直径服从正态分布某公司生产的发动机部件的直径服从正态分布. .公司称它公司称它的标准差的标准差问（问（1 1）我们能认为该公司生产的发动机部件直径的标准差确实为）我们能认为该公司生产的发动机部件直径的标准差确实为厘米吗？厘米吗？ （2）我们能否认为）我们能否认为 ？直径为：直径为： 1.321.32，1.551.55，1.361.36，1.401.40，1.44 .1.44 .取取,048. 0: 221 H选取检验统计量选取检验统计量 ),1(122202 nSn 因是双边检验，故拒绝域为因是双边检验，故拒绝域
24、为)1()1(22221 nknk 或或对于本题对于本题:,00778. 02 S,14.11)4(,484. 0)4(, 5,05. 02025. 02975. 0 n得拒绝域为得拒绝域为 ,14.11448. 0, 0计算计算K的数值的数值51.13048. 000778. 042 k落入拒绝域了，故拒绝落入拒绝域了，故拒绝0H即认为该公司生产的发动机部件直径的标准差不是即认为该公司生产的发动机部件直径的标准差不是 厘米厘米048. 0上页下页结束返回首页下检验假设下检验假设本题要求在水平本题要求在水平0.05)2( ,048. 0: 22020 H,048. 0: 221 H22048.
25、0 048.0048. 0 例例4 4 某公司生产的发动机部件的直径服从正态分布某公司生产的发动机部件的直径服从正态分布. .公司称它公司称它的标准差的标准差 厘米，现随机抽取了厘米，现随机抽取了5个部件，测得它们的个部件，测得它们的问（问（1 1）我们能认为该公司生产的发动机部件直径的标准差确实为）我们能认为该公司生产的发动机部件直径的标准差确实为厘米吗？厘米吗？ （2）我们能否认为）我们能否认为 ？直径为：直径为： 1.321.32，1.551.55，1.361.36，1.401.40，1.44 .1.44 .取取05. 0 选取检验统计量选取检验统计量 ),1(122202 nSn 因是
26、右边检验，故拒绝域为因是右边检验，故拒绝域为)1(2 nk 查分布表查分布表)1(2 n 49.9)4(205.0 ,49. 9,故拒绝域为故拒绝域为计算计算K的数值的数值49. 951.13048. 000778. 042 k落入拒绝域了，故拒绝落入拒绝域了，故拒绝0H即认为发动机部件直径的方差超过即认为发动机部件直径的方差超过.048. 02上页下页结束返回首页一、均值差一、均值差1 1-2 2的假设检验的假设检验二、二、 总体方差比总体方差比 12 22的检验的检验2.总体方差总体方差21 , 22未知的情况未知的情况1.总体方差总体方差21 , 22已知的情况已知的情况第三节第三节 两
27、个正态总体参数相等的假设检验两个正态总体参数相等的假设检验上页下页结束返回首页一、两总体一、两总体X与与Y的均值差的均值差 1- 2的检验（的检验（H0： 1= 2 ）两总体两总体X X与与Y Y的方差的方差 1 12 2、 2 22 2已知时，用已知时，用)()(22212121nnYXU 作为检验统计量作为检验统计量U检验法。检验法。两总体两总体X与与Y的方差的方差 12、 22未知，但未知，但 12= 22= 2，用，用1121nnSYXT 作为检验统计量作为检验统计量T检验法。检验法。)1 , 0(N)2(21 nnt021 假设为真假设为真222121nnYXU 上页下页结束返回首页
28、 无论两总体无论两总体X X与与Y Y的均值的均值 1 1、 2 2是否已知，均用是否已知，均用 二、两总体二、两总体X与与Y方差比方差比 12 22的检验的检验 （H0： 12 22 =1）)1, 1(212221 nnFSSF作为检验统计量作为检验统计量 F检验法。检验法。以上这些统计量以上这些统计量, ,你是否已经你是否已经记熟记熟? ?上页下页结束返回首页练习练习 一台车床生产某一型号的滚珠一台车床生产某一型号的滚珠. .已知滚珠的直径服从正态已知滚珠的直径服从正态分布分布, ,规定直径的标准值为规定直径的标准值为1 1(cm),(cm),均方差不能超过均方差不能超过0.020.02(
29、cm).(cm).现从这台车床生产的滚珠中抽出现从这台车床生产的滚珠中抽出9 9个个, ,测得其直径为测得其直径为: 0.994: 0.994，1.0141.014，1.021.02，0.950.95，1.031.03，0.9880.988，0.9790.979，1.0231.023，0.9820.982，问这台车床工作是否正常？，问这台车床工作是否正常？( (取检验水平取检验水平 =0.05=0.05) )（2 2）对期望）对期望 的假设检验，单边还是双边的假设检验，单边还是双边? ? （3 3）对方差的检验假设，单边还是双边）对方差的检验假设，单边还是双边? ? （1 1）要判断工作是否正
30、常，需检验什么？要判断工作是否正常，需检验什么？备择假设备择假设H H1 1应取作什么？应取作什么？ 检验统计量用哪一个？检验统计量用哪一个？备择假设备择假设H H1 1应取作什么？应取作什么？ 检验统计量用哪一个？检验统计量用哪一个？设滚珠的直径为设滚珠的直径为X X，计算其样本均值为计算其样本均值为 x = 0.998= 0.998，样本均方差为样本均方差为s= =0.0260.026。上页下页结束返回首页设滚珠的直径为设滚珠的直径为X X，计算其样本均值为计算其样本均值为 x = 0.998 = 0.998，样本均方差为样本均方差为 s=s=0.0260.026。（1 1）先在水平先在水
31、平 =0.05=0.05下检验假设下检验假设 H H0 0 ： = = 0 0=1 H=1 H1 1： 0 0=1=1。 取统计量取统计量310SXnSXT 则则 T Tt（9-19-1）由由 P|T|t0.025=0.05， 查查t 分布表得分布表得: t0.025(8)=2.306，即拒绝域为即拒绝域为 ( ,2.306)(2.306，+ )，3026. 01998. 0 t= 0.23 0 02 2 =0.02=0.022 2取统计量：取统计量：2222002. 081SSnY 则则Y 2（8）由由 PY 20.05=0.05, 查查 2分布表得分布表得: 20.05(8)=15.507
32、,从而拒绝域为从而拒绝域为(15.507,+ )而而Y的数值的数值 y=(8 0.022) 0.0262 = 9.69 0 0 HH0 0 : : = = 0 0 HH1 1 : : 0 0 HH0 0 : : = = 0 0 HH1 1 : : 0 02 2 HH0 0 : : 2 2 = = 0 02 2 HH1 1 : : 2 2 0 02 2 )1()1()1()1(12221222 nKnKnKnK 或或拒绝域拒绝域2、单个正态总体方差、单个正态总体方差 2的检验的检验)1()1(222 nSnK 上页下页结束返回首页： 原假设、备择假设、检验统计量、检验水平、原假设、备择假设、检验
33、统计量、检验水平、 拒绝域、接受域、临界值点、统计量的实测值；拒绝域、接受域、临界值点、统计量的实测值； 总体方差已知的情况总体方差已知的情况-U检验法；检验法； 总体方差未知的情况总体方差未知的情况-t 检验法。检验法。 两个正态总体均值差与方差比的假设检验两个正态总体均值差与方差比的假设检验 。 双边检验、单边检验、左边检验、右边检验双边检验、单边检验、左边检验、右边检验. “弃真弃真”错误：错误：当假设当假设H0 0为真时，因样本的统计量的观察值落为真时，因样本的统计量的观察值落 入拒绝域，按此方法，入拒绝域，按此方法，H0 0被拒绝被拒绝。 “纳伪纳伪”错误：错误：当当H0 0为假时，
34、因样本的统计量的观察值落为假时，因样本的统计量的观察值落 入接受域，按此方法，入接受域，按此方法，H0 0 被接受被接受。上页下页结束返回首页作业作业P148 2,3,4,6,7上页下页结束返回首页某批矿砂某批矿砂5 5个样品中镍含量（个样品中镍含量（）经测定为）经测定为 3.253.25，3.273.27，3.243.24，3.263.26，3.24 3.24 ；设总体；设总体X X服从正态服从正态分布，且按标准，分布，且按标准，矿砂的矿砂的镍含量应镍含量应不低于不低于3.253.25。问在问在 =0.01=0.01下能否认为这批矿砂的下能否认为这批矿砂的镍含量镍含量达到要求？达到要求？思考思考：单边检验？双边检验？单边检验？双边检验？检验枢轴量？检验枢轴量？).1()( ntnSXT H H0 0： = = 0 0；H H1 1： 0 0 达到要求达到要求3.25,3.25,达不到要求达不到要求3.253.25. .)1( ntT 拒绝域拒绝域? ?
