第2章 平稳时间序列分析.

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1、第二章平稳时间序列分析本章结构n时间序列的基本概念n方法性工具 nARMA模型 n平稳序列建模n序列预测 2.1时间序列基本概念1.时间序列的概率分布 一个时间序列的概率分布可以用它有限维分布簇来描述 时间序列所有的一维分布是：时间序列所有的一维分布是： 所有二维分布是：所有二维分布是： 一个时间序列的所有有限维分布簇的全体，称为该序一个时间序列的所有有限维分布簇的全体，称为该序列的有限维分布簇。列的有限维分布簇。 101.,( ),( ),( ),.FFF( , ),0, 1, 2,.()ijFi jij 2.时间序列的均值函数 一个时间序列的均值函数是指：一个时间序列的均值函数是指：其中：

2、其中： 表示在表示在 固定时对随机变量固定时对随机变量 的求的求均值，它只与一维分布簇中的分布函数均值，它只与一维分布簇中的分布函数 有关。有关。( )tttEXxdF xtEXttX()tF 2.时间序列的协方差函数与自相关函数 协方差函数：,( , )()()( , )ttsstst st sE XXxydFx y 其中，其中， 为为 的二维联合分布。的二维联合分布。 自相关函数：自相关函数：( , )( , )/( , ) ( , )t st st ts s,( , )t sF x y(,)tsXX时间序列的自协方差函数有以下性质：时间序列的自协方差函数有以下性质：对称性：对称性： 非负

3、定性：非负定性：( , )( , )t ss t 111212122212,mmmmmmmk kk kk kk kk kk kk kk kk k 为对称非负定矩阵。为对称非负定矩阵。自相关函数同样也具有上述性质且有自相关函数同样也具有上述性质且有 。 对任意正整数对任意正整数 和任意和任意 个整数个整数 ，方阵，方阵mm12, ,.,mk kk( , )1t t2.2平稳时间序列n满足如下条件的序列称为严平稳序列n满足如下条件的序列称为宽平稳序列),(),(21,21,2121mtttmtttxxxFxxxFmm有，正整数，正整数Ttttmm,21TtskksttskkstTtEXTtEXtt

4、且，为常数，,),(),()3,)2,) 12n严平稳与宽平稳的关系 1.严平稳不等于宽平稳；严平稳不等于宽平稳；2.宽平稳不等于严平稳；宽平稳不等于严平稳；3.对于严平稳序列，如果其二阶距存在，对于严平稳序列，如果其二阶距存在，其必为宽平稳，反之则一般不成立；其必为宽平稳，反之则一般不成立；4.对于高斯序列，严平稳与宽平稳是等对于高斯序列，严平稳与宽平稳是等价的。价的。n平稳时间序列自协方差函数和自相关函数 设平稳时间序列的均值为零，即0tE X。 自协方差函数：自协方差函数：0kt kt kttttt kE XEXXEXEXEX X当时自相关函数：自相关函数：0kkn平稳序列的自协方差函数

5、有以下性质：平稳序列的自协方差函数有以下性质：对称性：对称性： 非负定性：非负定性：0k01m-110m-2m-1m-20m 为非负定矩阵。为非负定矩阵。自相关函数同样也具有上述性质。自相关函数同样也具有上述性质。 阶自协方差阵阶自协方差阵 有界性：有界性：kkmn平稳序列的样本统计量平稳序列的样本统计量 样本均值：时间序列无法获得多重实现，常用时间均值代替总体均值。11nttxxn上式的估计是无偏的。上式的估计是无偏的。 n样本自协方差函数样本自协方差函数11n kktt ktxxxxn11n kktt ktxxxxnk第一式是有偏估计，第二式是无偏估计，但第一式是有偏估计，第二式是无偏估计

6、，但有效性不如第一式。有效性不如第一式。2.3几类特殊的时间序列： 1. 白噪声序列（White noise）：如果时间序列满足以下性质：（1） 0tE a2,tst sE a a （2） 式中，当式中，当 时，时，,0,1t st t。称此序列为白噪声序列，称此序列为白噪声序列，简称白噪声。常记为简称白噪声。常记为:2(0,).taWNts2.独立同分布序列：如果时间序列,tX tT中的随机变量中的随机变量 为相互独为相互独立的随机变量，而且具有相同的分布，立的随机变量，而且具有相同的分布，称这样的时间序列为独立同分布序列。称这样的时间序列为独立同分布序列。3.3.正态序列：若正态序列：若,

7、tX tT正态分布，则称正态分布，则称的有限维分布都是的有限维分布都是,tX tT为正态序列。为正态序列。,0, 1, 2,.tX t 2.4 方法性工具 n差分运算n延迟算子n线性差分方程差分运算n一阶差分n 阶差分 n 步差分pk1tttxxx111tptptpxxxkttkxx延迟算子n延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻 n记 为延迟算子，有 1,pxBxtpptB延迟算子的性质n n n n n ，其中n 若10B为任意常数cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBnttnxxBiniinnnBCB0

8、) 1()1 ()!( !ininCin2211,1.1BBB 用延迟算子表示差分运算n 阶差分 n 步差分pkitpiipptptpxCxBx0) 1()1 (tkkttkxBxx)1 ( 线性差分方程 n线性差分方程n齐次线性差分方程)(2211thzazazazptpttt02211ptptttzazazaz齐次线性差分方程的解n特征方程n特征方程的根称为特征根，记作n齐次线性差分方程的通解n不相等实数根场合n有相等实根场合n复根场合02211ppppaaap,21tpptttcccz2211tpptddtddtcctctccz111121)(tpptititttccececrz3321

9、)(非齐次线性差分方程的解 n非齐次线性差分方程的特解n使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解n非齐次线性差分方程的通解n齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和tttzzz tz )(2211thzazazazptpttt tz几个例题1(1)0.8ttyy1(2)1.2ttyy解解：（：（1）的特征方程：）的特征方程：0.80得特征值：得特征值：0.8.则齐次通解：则齐次通解：(0.8)tcc为两任意常数。为两任意常数。同理，（同理，（2）的通解：）的通解：(1.2)tc当任意常数为当任意常数为1时，（时，（1）、（）、（2）解的时间路径如）解的时间路径如下图：下图：c为两任意

10、常数。为两任意常数。几个例题0.00.20.40.60.81.0246810 12 14 16 18 20010203040246810 1214 1618 20几个例题12(3)0.20.35tttyyy12(4)0.70.35tttyyy解解：（：（3）的特征方程：）的特征方程：20.20.350得两个特征值：得两个特征值：0.7和和-0.5.则齐次通解：则齐次通解：12(0.7)( 0.5)ttcc12,cc为两任意常数。为两任意常数。几个例题同理，（同理，（4）的通解：）的通解：12(1.037)( 0.337)ttcc12,cc为两任意常数。为两任意常数。当任意常数为当任意常数为1时

11、，（时，（3）、（）、（4）解的时间路径如）解的时间路径如下图：下图：几个例题0.00.20.40.60.8246810 12 14 16 18 201.01.21.41.61.82.02.2246810 12 14 16 18 20几个例题12(5)1.60.9tttyyy12(6)1.61.1tttyyy-0.8-0.40.00.40.81.22468101214161820-4-202462468101214161820齐次线性差分方程特征根和解的敛散性关系1,i对 所 有 的 i,若解 是 收 敛 解 。1,i若 存 在 i,解 是 发 散 解 。2.5 ARMA模型的性质 nAR模型