第三章 随机变量及分布.

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1、1定义定义1.1：设：设E为随机试验，样本空间为为随机试验，样本空间为 ，X和和Y是定义在是定义在 上的上的 两个随机变量，向量（两个随机变量，向量（ X，Y）称为二维称为二维随机变量随机变量第一节第一节 二维随机变量二维随机变量 对于二维对于二维随机变量随机变量（ X，Y），），既要研究（既要研究（ X，Y）作为作为整体的分布及相互关系，又要研究它们自身的分布整体的分布及相互关系，又要研究它们自身的分布 。一一 二维随机变量的定义二维随机变量的定义2定义定义1.2 设（设（ X，Y）为二维为二维随机变量，对于任意的随机变量，对于任意的x，y， 二元函数二元函数 F(x ,y)=p(X x ,

2、Y y) 称为称为（ X，Y）的分布函数。或的分布函数。或称为称为 X与与Y的联合分布函数的联合分布函数 联合分布函数的几何含义：联合分布函数的几何含义： 联合分布函数在点联合分布函数在点(x , y)处的函数值处的函数值F(x , y) 就表示随机点落在以就表示随机点落在以(x ,y)为顶点的左下方的无穷矩形区域为顶点的左下方的无穷矩形区域 ( u x , x1时，时，F(x2 , y)F(x1 , y)对任意固定的对任意固定的 x，当当 y2 y1时，时，F(x , y2) F(x , y1)3oxx1 x2 yy1 y2 (2) 对任意的对任意的 x 和和 y 都有：都有：0 F(x ,

3、 y) 10 )y,x()y,(limxFF0 )y,x(),x(limyFF1 )y,x(),(limyxFF(x , y) xyo (3) 对对 x 和和 y ， F(x , y) 都是右连续的都是右连续的 (4) 当当 x1 x2 ， y1 y2 时，有时，有 P(x1X x2 , y1Y y2) = F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1)0 )y,x(),(limyxFF4 定义：二维随机变量定义：二维随机变量 (X,Y ) 中，随机变量中，随机变量X（或或Y）自身的自身的 分布称为分布称为(X ,Y )关于关于X （或或Y）的边缘分

4、布。的边缘分布。 结论：设结论：设(X , Y ) 的的联合分布函数为联合分布函数为 F(x , y)，则有则有),x( F)y,()y,x()yY,X()yY()y(limxYRFFPPF (y )y, x(limyF )Y, xX( P)xX( P )x(XF)xR ( 2 边缘分布边缘分布边缘分布函数：边缘分布函数：X的分布函数的分布函数 FX (x) 和和 Y的分布函数的分布函数FY ( y)边缘分布函数边缘分布函数可由可由联合分布函数确定。联合分布函数确定。 边缘分布从某种意义看，就是一维随机变量的分布，它边缘分布从某种意义看，就是一维随机变量的分布，它具有一维分布的性质。只不过边缘

5、分布在二维空间考虑具有一维分布的性质。只不过边缘分布在二维空间考虑。5定义定义1.3：如果二维随机变量：如果二维随机变量 (X , Y ) 所有可能取的数对是所有可能取的数对是 有限个或可列个，则称有限个或可列个，则称 (X , Y ) 为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量。1.2 二维离散型随机变量 1 二维离散型随机变量的联合分布二维离散型随机变量的联合分布 y jy 2y 1x 1x 2x ip 11p 12p 1jp 21p 22p 2jp i1p i2p i j Y X X 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X , Y )所有可能取的数对为所有可能取的数对为 (x i ,

6、 y j ) (i , j = 1, 2, ) 则则 P (X = x i ，Y = y j ) = p i j (i , j = 1, 2, )称为二维离散型随机变量称为二维离散型随机变量(X , Y )的的联合概率函数联合概率函数或或联合分布联合分布。 例：同时掷两枚色子，朝上面的点数记为例：同时掷两枚色子，朝上面的点数记为X , Y ，则则 二维随机变量二维随机变量(X , Y )为离散型为离散型。(X , Y )的的联合概率函数表：联合概率函数表：(1) pi j 0 , i , j = 1 , 2 , 联合概率分布的性质联合概率分布的性质(2)1 ijjip6设二维随机变量设二维随机

7、变量(X , Y )的联合分布律为的联合分布律为 P (X = x i ，Y= y j ) = p i j (i , j = 1, 2, ) p i. 行和行和 p1. p2. pi. p.j 列和列和 p.1 p .2 p.j即即2 二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布称为二维随机变量称为二维随机变量(X , Y )关于关于X , Y的边缘分布的边缘分布 y jy 2y 1x 1x 2x ip 11p 12p 1jp 21p 22p 2jp i1p i2p i j Y X X7注意：联合分布唯一确定边缘分布，边缘分布不能唯一地注意：联合分布唯一确定边缘分布，边缘分布不能唯

8、一地 确定联合分布。确定联合分布。11Y X 01/ 121/ 61/ 61/ 61/ 6 1/ 1201/ 62332例：（例：（X , Y）的联合概率分布的联合概率分布求：求：X , Y的边缘分布的边缘分布解：解：X , Y的边缘分布的边缘分布1pX 1/21/41/4321pY 1/21/41/4328定义定义1.5： 设二维随机向量设二维随机向量(X ,Y)的分布函数为的分布函数为 F(x , y)。 如果如果存在非负可积函数存在非负可积函数 f (x , y)，使得使得1.3 二维连续型随机变量的联合密度函数则称则称 (X , Y) 为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，f (x

9、, y) 称为称为 (X , Y ) 的联合的联合概率密度函数，概率密度函数，或简称或简称联合密度。联合密度。 x-y-ddf ),()(yx,F1 联合密度函数联合密度函数l 二维连续型随机变量的联合密度的基本性质二维连续型随机变量的联合密度的基本性质(1) f (x, y) 0 x , y R(2)1 -xoydxdy)y,x(fdxdy)y,x(f平平面面)y,x(fyx )(Fxy,9 ba)x()x(Gdy)y,x(fdxdxdy)y,x(fYX2 1 )(G,P给出联合密度给出联合密度 f (x, y) 后，事件后，事件 (X ,Y) G的的概率都可用概率都可用二重积分表示。二重积

10、分表示。 OxyabG 1 1(x) 2 2(x)当当 G 为长方形时，为长方形时， badcdx)y,x(fdxdYcbXa)(,POxyabGcd例：例：(均匀分布均匀分布)设二维随机向量设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =c, ( x , y) G G 0 , 其他其他求：求： 常数常数 c 解解 平平面面xoydxdy)y,x(f Gdxdy)y,x(f Gcdxdy1 GcSGSc1 GdxdyyxfYX),()(G,P10例：设二维随机向量例：设二维随机向量(X ,Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =ce - 3(x + y

11、), 0 x + , 0 y + 0 , 其他其他求：求：(1) 常数常数 c ; (2) 联合分布函数联合分布函数 F(x , y) ; (3) (X ,Y)落入右上图所示三角形区域落入右上图所示三角形区域 G 内的概率。内的概率。解解19131310303003003 ccdyedxecdyedxcdxdycedxdy)y,x(fyx)yx()yx(OxyG11x+y=1c = 9 xydudv)v ,u(fy,x)F( xy)vu(dudve003 9(2)当当 0 x + , 0 y + 时时 )F(y,x xy)vu(dvedu003 9当当 x , y 不都大于不都大于0 时时0