第三章 误差的合成与分配.

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1、本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题，但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度，需要采用间接测量。n间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具

2、有确定关系的误差计算，也有称之为误差合成。间接测量间接测量 函数误差函数误差 间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差函数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量 一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算间接测量的数学模型 12( ,.,)nyf x xx 与被测量有函数关系的各个直接测量值 y 间接测量值12,nx xx求上述函数 y 的全微分，其表达式为：nndxxfdxxfdxxfdy2211 和 的量纲或单位不相同，则 起到误差单位换算的作用 和 的量纲或单位相同，则 起到误差放大或缩小的作用由 y 的全微分，函数系统误差 的

3、计算公式y1212.nnfffyxxxxxx 为各个输入量在该测量点 处的误差传递系数 (1,2, )ifx in12( ,)nx xxixyifxixyifx几种简单函数的系统误差几种简单函数的系统误差 1、线性函数1 122.nnya xa xa x1122.nnyaxaxax 12.nyxxx 1ia 2、三角函数形式 12sin,.,nf x xx11cosniiifxx12cos,.,nf x xx11sinniiifxx系统误差公式当 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和 【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 h

4、= 50mm ，弦长l = 500mm。已知，弓高的系统误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 l = 1mm 。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。 【解】建立间接测量大工件直径的函数模型 24lDhhD2lh 不考虑测量值的系统误差，可求出在 处的直径测量值 50mmh 500mml 201300mm4lDhh车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差 5050.10.1mmh 5004991mml 直径的系统误差: 7.4mmffDlhlh 500522 50fllh2222500112444 50flhh 故修正后的测量结果: 013007.41292

5、.6mmDDD计算结果：计算结果：误差传递系数为: 例例: 用双圆球法检定高精度内锥角用双圆球法检定高精度内锥角，如图如图,已知已知:测得尺寸及系统误差为:求检定结果。解：根据图所示的测量方法，可得函数关系式若不考虑测得值的系统误差，则计算出的角度值0为角度的系统误差为式中各个误差传递函数为将已知各误差值及误差传递系数代人角度的系统误差式，得 将所求得的角度系统误差修正后，则得被检内锥角的实际值为 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。

6、因此，因此，函数随机误差计算，函数随机误差计算， 就是研究函数就是研究函数y y的标准差与各测量值的标准差与各测量值x1，x2，xn 的标准差之间的关系。但在式的标准差之间的关系。但在式(3-1)(3-1)中，若以各测中，若以各测量值的随机误差量值的随机误差x1，x2，xn 代替各微分量代替各微分量dx1，dx2，dxn，只能得到函数的随机误差只能得到函数的随机误差y，而得不到函数的标准差，而得不到函数的标准差y。因此，必须进行运算处理，以求得函数的标准差。因此，必须进行运算处理，以求得函数的标准差。二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算数学模型数学模型 12( ,.,)nyf x xx变量

7、中只有随机误差泰勒展开，并取其一阶项作为近似值函数的一般形式 1122(,)nnyyf xx xxxx121212(,.,)nnnfffyyf x xxxxxxxx得到 1212nnfffyxxxxxx即：可得：2222222121122nyxxxnijijnijfffffDxxxxx 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 函数标准差计算函数标准差计算 或 第i个直接测得量 的标准差 xiix 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 ij 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差 ijijxixjD 第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 处的误差传

8、递系数 ifxixy12( ,)nx xx22222221212yxxxnnfffxxx2222221212yxxxnnfffxxx或0ijijD相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 iifax令2222221122yxxnxnaaa则 当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式 2222221122yxxnxnaaa 第i个直接测得量 的极限误差 xiix三角形式的函数随机误差公式三角形式的函数随机误差公式2222222121cos1xnnxxxfxfxf1） 正弦函数形式为: 函数随机误差公式为：

9、nxxxf,sin212） 余弦函数形式为: 函数随机误差公式为： nxxxf,cos21三角函数标准差计算三角函数标准差计算3） 正切函数形式为: 函数随机误差公式为： nxxxf,tan2122222221212cosxnnxxxfxfxf4） 余切函数形式为: 函数随机误差公式为： nxxxf,cot2122222221212sinxnnxxxfxfxf2222222121sin1xnnxxxfxfxf【解】【解】【例】【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长l = 500mm。已知，弓高的系统误差 h = -0.1mm ,

10、玄长的系统误差 l = 1mm 。试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。已知： ，0.005mmh0.01mml2222222224()()50.01240.005169 10 mmDlhfflh0.13mmD有修正后的测量结果 01292.6mmDDD0.13mmD若用直径的极限误差表示测量结果，则若用直径的极限误差表示测量结果，则 所求直径的最后结果为所求直径的最后结果为已知：已知： 相关系数对函数误差的影响相关系数对函数误差的影响 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响 2222

11、221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa0ij1ij 函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系 函数随机误差公式ij当相关系数 时当相关系数 时2 2、 相关系数估计相关系数估计相关系数的确定相关系数的确定可判断 的情形 0ij 断定 与 两分量之间没有相互依赖关系的影响 ixjx 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然 与 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量 ixjx 与 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关 ixjx可判断 或 的情形 断定 与 两分量间近似呈现正的线性关系或负的线