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1、三阶行列式的计算三阶行列式的计算333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 说明说明 1 1. . 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的不同列的三个元素的乘积乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为负三项为负.1112112212212122.aaDa aa aaa在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这
2、两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序. nstiiiii21stii 定义定义n 个不同的自然数，规定由小到大为个不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.n,n,121 n,n,121 n分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大
3、的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）个元素的全排列（或排列）.nn逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列; ;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列. .由前向后由前向后(后向前后向前)求每个数的逆序数求每个数的逆序数. 121212111212122212121nnnnt p ppnppnpp ppnnnnaaaaaa
4、Daaaaaa 1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.2、 阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同项，每项都是位于不同行、不同列列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定正负号由下标排列的逆序数决定.nn!n 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. . 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数行列式的某一行（列）中所有
5、的元素都乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kk 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行行)对对应的元素上去，行列式不变应的元素上去，行列式不变利用运算把行列式化为上三角形行列式利用运算把行列式化为上三角形行列式jikrr (行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立对列也同样成立).(1)利用定义利用定义;(2)利用
6、性质把行列式化为上三角形行列式，从利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值而算得行列式的值若行列式的某一列若行列式的某一列( (行行) )的元素都是两数之和的元素都是两数之和. .则可拆为两个行列式之和则可拆为两个行列式之和. .利用运算把行列式化为上三角形行列式利用运算把行列式化为上三角形行列式jikrr 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，外都为零，那末这行列式等于那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即与它的代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘
7、行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质1,0 ,;nkikjkDija Aij当当1,0 ,;nikjkkDija Aij当当线性方程组线性方程组11 112 2111 12 2(1)n nnnnn nna x a xa xba x a
8、 xa xb nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 122123nnDDDDx, x, x,x.DDDD那么线性方程组那么线性方程组(1) 有解，有解，并且解是唯一的并且解是唯一的:0D nnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 系数行列式系数行列式非齐次线性非齐次线性方程组方程组12,nb bb不全为零不全为零0D 线性方程组线性方程组 (1) 无解无解或有两个不同的解或有两个不同的解齐次线性方程组齐次线性方程组12,nb bb全为零全为零0D 没有非零解没有非零解有非零解有非零解0 D( (2)(2)例例1计算计算.43213
9、213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列列都都加加到到第第一一列列，得得将将第第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的将将第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，将将第第倍倍加加到到第第列列的的将将第第)(1,3)(12)(11aaan . )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23
10、122121111010010001)(例例1计算计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 评注评注本题利用行列式的性质，采用本题利用行列式的性质，采用“化零化零”的方法，逐步将所的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为用行列式性质将某行（列）中的某数化为1 1；若所给行列式中元素间具；若所给行列式中元素间具有某些
11、特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的三角形行列式之目的例例2计算计算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆拆成成两两个个行行列列式式之之和和列列把把依依第第DnnaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 121.000nna xaaaa xaaaa xaaax .1121DxaxxxDnnnn 从而从而得得列展开列展开第第右端的第二个行列式按右端的第二个行列式按列列加到第加到第倍分别倍分别列的列的将第将第右端的第一个行列式右端的第一个行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,000
12、0000001121DxaaxaxaxDnnnn 由此递推，得由此递推，得1221221121221,.nnnnnnnnnnnaaax xxxx xxx xxxx xDDDD于于是是例例3证明证明cos100012cos100012cos00cos.000100012cosnDn 证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221结论成立结论成立时时当当所以所以因为因为 nnDD 得得展展开开按按最最后后一一行行现现将将的的行行列列式式也也成成立立于于阶阶数数等等于于下下证证对对的的行行列列式式结结论论成成立立假假设设对对阶阶数数小小于
13、于,.,Dnnn.cos221DDDnnn ,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由归纳假设由归纳假设2coscos(1)cos(2)coscos(2) cos(2)cos;nnnnnnnD.结论成立结论成立所以对一切自然数所以对一切自然数n例例3证明证明cos100012cos100012cos00cos.000100012cosnDn 评注评注12,(),1(1),.nnnnDDDnnD为了将展开成能用其同型的表示 本例必须按第 行 或第 列 展开 不能按第 行 或第 列 展开 否则所得的低阶行列式不是与同型的行列式,.,.一般来讲当行列式已告诉其结果而要我们证明是与自然数有
14、关的结论时可考虑用数学归纳法来证明如果未告诉结果也可先猜想其结果然后用数学归纳法证明其猜想结果成立计算行列式的方法比较灵活，同计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法用常用的几种方法小小 结结证证4 0,0,00.axbycbxcyacxaybabc证明平面上三条不同的直线相交于一点的充
15、分必要条件是例例 2221()() 0.()()()2abcbcaabcabbccacab , ,0.a b cabc因为三条直线互不相同 所以也不全相同 故.的非零解从而有系数行列式0000:(,),1Mxyzyxyx必要性 设所给三条直线交于一点则可视为齐次线性方程组0,0,0axbyczbxcyazcxaybz(2).(1).由克莱姆法则知，方程组有唯一解从而知方程组有唯一解，即三条不同直线交于一点.下证此方程组（）有唯一解（） baycxacybxcbyax,将方程组将方程组如果如果充分性充分性, 0 cba的第一、二两个方程加到第三个方程，得,00.axbycbxcya （）2222
16、22()00. ()acacacacacacac ，于是，从而有2200()abacacbacbbbc 如果，则。由得20,0.00.aacbabccb不妨设由得再由得，与题设矛盾0.abbc故一、填空题一、填空题( (每小题每小题6 6分，共分，共5454分分) ) ijijnaDaaD则则若若, . 131232. ,0,x xxxpxq设是方程的三个根 则行列式行列式行列式 . 3 1000000001998000199700020001000D 4433221100000000 .4ababbaba四四阶阶行行列列式式123312231xxxxxxxxx 443424144, . 5A
17、AAAcdbaacbdadbcdcbaD则则设设四四阶阶行行列列式式的的符符号号为为在在五五阶阶行行列列式式中中3524415312 . 6aaaaa 的的系系数数是是中中在在函函数数321112 . 7xxxxxxxf abcdbadccdabdcba四四阶阶行行列列式式 . 8, . 9时时且且则则当当为为实实数数若若 baba010100 abba二、二、计算下列行列式计算下列行列式( (每小题每小题1010分，共分，共2020分分) )0112210321011322211313211 . 15 DxzzzyxzzyyxzyyyxDn . 2齐齐次次方方程程组组取取何何值值问问, 02
18、00321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？三、三、解答题解答题(10(10分分)四、四、(16(16分分) ) 设设 阶行列式阶行列式nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和2323141422222 1. 1; 2. 0; 3. 1998!; 4. ; 5. 0; 6.; 7. 2; 8. ; 9. 0,0; naa ab ba ab babcd一、 . . 2 ;170 . 1zyyxzzxynn 二、二、. 00 或或三、三、21! 1.njnj四、一、填空题一、填空题( (每小题每小题6 6分，共分，共54
19、54分分) ) ijijnaDaaD则则若若, . 131232. ,0,x xxxpxq设是方程的三个根 则行列式123312231xxxxxxxxx1na12332123123122331123,()()()()x xxxxxxxxxxxxxx xx xx xxx x x因为是方程的根，则=01230 xxx1231232331212312231123310 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx0行列式行列式 . 31998 1998 12000 1 01002 0 021019970 0 01997199800 0 01998000 0 11998199711998!21D
20、4142434445. ,abcdcbdaDdbcaabdcAAAA设四阶行列式则1424344411011abccbdAAAAdbcabd0 abcdbadccdabdcba四四阶阶行行列列式式 . 822222abcd222222222222222242222Tabcd abcdbadc badcDDcdab cdabdcba dcbaabcdabcdabcdabcdabcd二、二、计算下列行列式计算下列行列式( (每小题每小题1010分，共分，共2020分分) ) 5314232517233112311123131122311221. 23110231101230112301221100
21、500012310130013312217205155 17221102110211130113010101195 17195115438124214rrrrrrccD 70111002. 00001111000000nnnnxyyyxyyyyyxyyyyzxyyzxyyxyyDzzxyzzxyzxyzzzxzzzxzzxyyyyzxyyx zy zy zxy Dyxy Dy x zzzxyx zy zzzzxx z 11nTTnnxzzzyxzzDx z Dz xyyyxzyyyx 又11nnnDxy Dy x z11nTTnnDx z Dz xy11TTnnnnDDDDnnny x zz x yDy z1111nnnnnnDxy Dy xzDxz Dz xy四四 (16(16分分) )设设 阶行列式阶行列式nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和11(2,3, , )1112121 111 1 1110 002 31 2 0012 001 0 3010 301 0 010 0231 1111! 12 3irr ininninAAAnnnnin
