第5章 数字电路基础

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1、第5章 数字电路基础 v5.1 5.1 数制与码制数制与码制v5.2 5.2 逻辑代数的基本知识逻辑代数的基本知识v本章小结本章小结 模拟电子技术模拟电子技术 数字电子技术数字电子技术模拟信号：在时间和幅值上都连续变化的信号。数字信号：在时间和幅值上都为离散的信号。模拟电路：处理和传输模拟信号的电路。数字电路：处理和传输数字信号的电路。 5.1 数制与码制一、常用数制一、常用数制 ：由数字符号构成且表示物理量大小的数字和数字组合。（简称数制）：多位数码中每一位的构成方法，以及从低位到高位的进制规则。1. 1. 十进制十进制v数码：0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、

2、8 8、9 9v计数规则：逢十进一v基数：1010v权：1010的幂 例：（345.25345.25）10 10 = =（3 310102 2+4+410101 1+5+510100 0+2+21010-1-1 + +510-2）1010 2. 2. 二进制二进制v数码：0 0、1 1v计数规则：逢二进一v基数：2 2v权：2 2的幂 例：（1011101）2 =（126+025+124+123+122+021+120）10 =（64+0+16+8+4+0+1）10 =（93）10数值越大，位数越多，读写不方便，容易出错！ 3. 3. 八进制八进制 v数码：07v计数规则：逢八进一v基数：8v

3、权：8的幂例：（127）8=（182+281+780）10 =（64+16+7）10 =（87）10 4. 4. 十六进制十六进制 v数码： 09、A、B、C、D、E、Fv计数规则：逢十六进一v基数：16v权：16的幂例：（5D）16=（5161+13160）10 =（80+13）10 =（93）10 5.1 数制与码制二、不同进制数的相互转换二、不同进制数的相互转换1.二进制、八进制、十六进制转换为十进制数 将各种数制转换成十进制时，只要将它们按权展开，求出相加的和，便得到相应进制数对应的十进制数。 (10101.11)2=124+023+122+021+120+12-1+12-2=16+0

4、+4+1+0.5+0.25=(21.75)10 (265.34)8=282+681+580+38-1+48-2 =128+48+5+0.375+0.0625 =(181.4375)10 2.十进制数转换为二进制、八进制、十六进制 整数部分采用“除基数取余”法，直至商为 0，所得余数自下而上排列起来；小数部分采用“乘基数取整”法，直至小数为0或按要求保留位数，所得整数自上而下排列起来。例：将(25.375)10转换为二进制数。 3.二进制数与八进制数、十六进制数的相互转换 （1）二进制与八进制之间的转换 三位二进制数对应一位八进制数。（101011100101）2 =（101，011，100，1

5、01）2=（5345）8（6574）8 =（110，101，111，100）2=（110101111100）2 （2）二进制与十六进制之间的转换 四位二进制数对应一位十六进制数。例如：（9A7E）16 =（1001 1010 0111 1110）2 =（1001101001111110）2（10111010110）2 =（0101 1101 0110）2 =（5D6）16 三、码制三、码制二进制代码：具有特定意义的二进制数码。编码：代码的编制过程。 BCDBCD码（二十进制编码）：用一个四位二进制代码表示一位十进制数字的编码方法。 表5-1 几种常用的BCD码 十进制数8421码5421码余3

6、码0000000000011100010001010020010001001013001100110110401000100011150101100010006011010011001701111010101081000101110119100111001100 5.2 逻辑代数的基本知识一、逻辑代数的基本运算一、逻辑代数的基本运算1.与运算 当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系，简称与逻辑。 设定逻辑变量并状态赋值：逻辑变量：A和B，对应两个开关的状态；1闭合，0断开；逻辑函数：Y，对应灯的状态， 1灯亮，0灯灭。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合灭

7、闭合断开灭闭合闭合亮ABY000010100111A A、B B全1，Y Y才为1。 逻辑表达式： YA BAB符号“”读作“与”（或读作“逻辑乘”）；在不致引起混淆的前提下，“”常被省略。实现与逻辑的电路称作与门，与逻辑和与门的逻辑符号如图5-2所示，符号“&”表示与逻辑运算。 2.或运算 决定事件发生的几个条件中，只要有一个或一个以上条件得到满足，结果就会发生，这样的逻辑关系称为或逻辑。 ABY000011101111A、B有1，Y就为1。 逻辑表达式： YAB符号“”读作“或”（或读作“逻辑加”）。实现或逻辑的电路称作或门，逻辑符号如图5-4所示，符号“1”表示或逻辑运算。 3.非运算

8、在某一事件中，若结果总是和条件呈相反状态，则这种逻辑关系称为非逻辑。A与Y相反AY0110 实现非逻辑的电路称作非门，非门逻辑符号如图5-4所示。 逻辑符号中用小圆圈“ 。”表示非运算，符号中的“1”表示缓冲。逻辑表达式： Y YA A符号“ ”读作“ 非 ” 。 4.复合 运算 ABY BAYCDABYBAY逻辑名称与非或非与或非异或同或逻辑表达式Y=A B逻辑符号真值表A BYA BYA B C DYA BYA BY001001000010000010110100001101101010110010110011011011110110111逻辑运算规则有0出1全1出0有1出0全0出1与项为

9、1结果为0其余输出全为1不同为1相同为0不同为0相同为1 5.逻辑函数的表示方法及相互转换 （1）逻辑函数 在前面讨论的逻辑关系中可以知道，逻辑变量分为两种：输入逻辑变量和输出逻辑变量，当输入逻辑变量的取值确定之后，输出逻辑变量的取值也就被相应地确定了，输出逻辑变量与输入逻辑变量之间存在一定的对应关系，我们将这种对应关系称为逻辑函数。由于逻辑变量是只取0或1的二值变量，因此逻辑函数也是二值逻辑函数。（2）逻辑函数的表示方法及转换逻辑函数的表示方法有逻辑函数表达式、真值表、逻辑图、波形图和卡诺图等。 CABCABY例5-4 已知函数的逻辑表达式要求：列出相应的真值表；已知输入波形，画出输出波形；

10、画出逻辑图。ABCY0 00 00 00 00 00 01 10 00 01 10 00 00 01 11 11 11 10 00 00 01 10 01 11 11 11 10 01 11 11 11 11 1 （2）根据真值表和已知输入波形，画出输出波形，如图5-5所示。图5-5 例5-4的波形图解： （1）将A，B，C的所有组合代入逻辑表达式中进行计算，得到真值表如表5-6所示。表5-6 例5-4真值表 （3）根据逻辑表达式，画出逻辑图如图5-6所示。 图5-6 例5-4的逻辑图 二、逻辑代数的定律和运算规则二、逻辑代数的定律和运算规则1基本定律以上定律的正确性可以用真值表证明，若等式两

11、边的真值表相同，则等式成立。 2基本运算规则BCBACAB)(BCBFBDBCFDBCFDB)()(（1）代入规则在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边的某一变量都用一个函数代替，则等式仍然成立。代入规则之所以成立，是因为任何一个逻辑函数也和逻辑变量一样，只有0和1两种取值。例5-5 已知等式 。若将所有出现A的地方都用函数D+F代替，则等式仍然成立。即 （2）反演规则 若求一个逻辑函数Y的反函数时，只要将函数中所有“.”换成“+”，“+”换成“.”；“O”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量；则所得到的逻辑函数式就是逻辑函数Y的反函数表达式。 运用规则必须注意运算符

12、号的先后顺序，必须按照先括号，然后按先与后或的顺序变换，而且应保持反变量以外的非号不变。 例5-6 已知 EDCBBAY，求 Y解： EDCBBAY Y（3）对偶规则 Y是一个逻辑表达式，如果将Y中的“.”换成“+”，“+”换成“.”，“O”换成“l”，“1”换成“O”，则所得到新的逻辑函数式 ，就是Y的对偶函数。 对于两个函数，如果原函数相等，那么其对偶函数、反函数也相等。例5-7 已知 )(CABAY，求对偶函数 Y解： ACBAY 三、逻辑函数的代数化简法三、逻辑函数的代数化简法 根据逻辑代数的定律和运算规则，常用的逻辑函数表达式有如下几种：CABACABAACBACABAACBAY)(

13、与-或表达式 或-与表达式 与非-与非表达式 或非-或非表达式 与-或-非表达式 逻辑函数化简的方法有代数法和卡诺图法。代数法就是运用逻辑代数的基本定律和规则化简逻辑函数。常用的方法有并项法、吸收法、消去法和配项法。 例5-8 化简逻辑函数表达式 BACBCBBAYCACBBABBCAACBCBACBABCACBACBACBBACCBACBAACBBAY)()1 ()1 ()()(解： 例5-9 化简 EFBEFBABDCAABDAADY解： EFBBDCAEFBBDCAAEFBEFBABDCAABAY 利用代数化简法，要求熟练掌握逻辑代数的定理和运算规则，并需要掌握一定的化简方法，同时对于一

14、个较复杂的逻辑式也难以判断化简结果是否为最简。为了克服这个缺点，引入另一种化简方法卡诺图化简法。 四、逻辑函数的卡诺图化简法四、逻辑函数的卡诺图化简法1最小项的定义及其性质（1）最小项的定义 在n个输入变量的逻辑函数中，如果一个乘积项包含n个变量，而且每个变量以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，那么该乘积项称为该函数的一个最小项。对n个输入变量的逻辑函数来说，共有2n个最小项。 （2）最小项的编号 为了表达方便，最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。编号的方法是：使最小项的值为1所对应的输入变量的取值作为二进制数，将此二进制数转换成相应的十进制数就是该最小项的编号，以为

15、例，因为它与010相对应，所以记作m2。 CBA （3）最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项之和的形式，这样的逻辑函数表达式称为最小项表达式。 例5-10 将逻辑函数 1）对于任意一个最小项，输入变量只有一组取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0；2）不同的最小项，使它的值为1的那一组输入变量取值也不同；3）对于输入变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；4）对于输入变量的任一组取值，所有最小项之和为1。CAABCBAY)(，转换成最小项表达式。 解： )7 , 6 , 3 , 1 ()()()(1367mmmmmCBABCACABABCBBCA

16、CCABCAABCBAY，（4）最小项的性质 2逻辑函数的卡诺图表示法（1）卡诺图 卡诺图是按相邻性原则排列的最小项的方格图。1）二变量卡诺图 图5-7 二变量卡诺图2）三变量卡诺图 图5-8 三变量卡诺图3）四变量卡诺图 图5-9 四变量卡诺图 （2）用卡诺图表示逻辑函数 任何一个逻辑函数都可以写成最小项表达式，而卡诺图中的每一个小方格代表逻辑函数的一个最小项，只要将逻辑函数中包含的最小项对应的方格内填1，没有包含的项填0(或不填)，就得到函数卡诺图。 例5-11 试用卡诺图表示逻辑函数 ABCDDCACDBDCCBY 3用卡诺图化简逻辑函数（1）化简依据和合并规律 卡诺图的化简依据：卡诺图

17、中几何相邻的最小项在逻辑上也有相邻性，而逻辑相邻的两个最小项只有一个因子不同，根据互补律1 AA可知，将它们合并，可以消去互补因子，留下公共因子。 （2）化简步骤 1）用卡诺图表示逻辑函数； 2）对可以合并的相邻最小项（相邻的“1”）画出包围圈（也叫卡诺圈）； 3）消去互补因子，保留公共因子，写出每个包围圈所得的乘积项； 4）从卡诺图中读出最简与或表达式，最简式可能不是唯一的。 1111ABCD0001111000011110BCDABCa)11111111ABCD0001111000011110BDABb)11111111ABCD0001111000011110BD11111111ABCD0

18、001111000011110Dc)d )BD 例5-12 用卡诺图化简逻辑函数 )15,13,12, 7 , 6 , 5 , 2 , 1 , 0 (),(mDCBAY解：（1）画出逻辑函数的卡诺图，如图5-11所示。 （2）画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式 CBADCACABBDDCBAY),(111111111ABCD0001111000011110ABCBDACDABC图5-11 例5-12的卡诺图 4用卡诺图化简具有约束项的逻辑函数（1）约束项 实际中经常会遇到这样的问题，在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的

19、最小项称为约束项，有时又称为禁止项、无关项、任意项，在卡诺图中或真值表中用或来表示。 （2）化简步骤1）将函数式中的最小项在卡诺图对应的方格内填1，约束项在对应的方格内填，其余方格填0或空着；2）画包围圈时，约束项究竟是看成1还是0，以使包围圈的个数最少、圈最大为原则；3）写出化简结果。 例5-14 化简逻辑函数 )15,14,13,12,11,10() 9 , 7 , 6 , 3(),(dmDCBAYCDAB11110001111000011110解： BCCDADDCBAY),( 本章小结本章小结1. 数字电路的工作信号是一种突变的离散信号。数字电路的工作信号是一种突变的离散信号。 数数字

20、电路中主要采用二进制数。二进制代码不仅可字电路中主要采用二进制数。二进制代码不仅可以表示数值的大小，还可以表示文字和符号。以表示数值的大小，还可以表示文字和符号。 2. 逻辑代数有三种基本运算（与、或、非），应熟逻辑代数有三种基本运算（与、或、非），应熟记逻辑代数的运算规则和基本公式。记逻辑代数的运算规则和基本公式。 3. 逻辑函数通常有五种表示方式，即真值表、逻辑逻辑函数通常有五种表示方式，即真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑图和波形图，知道其中任表达式、卡诺图、逻辑图和波形图，知道其中任何一种形式，都能将它转换为其他形式。何一种形式，都能将它转换为其他形式。4. 逻辑函数的化简有代数法和卡诺图法。逻辑函数的化简有代数法和卡诺图法。